什么是经验法则？
经验法则（Empirical Rule）又称 68-95-99.7 法则或 3σ（三倍标准差）法则，用来描述数据在正态分布（钟形曲线）中的分布规律。它指出：约 68% 的数值落在距离均值一个标准差的范围内，约 95% 落在两个标准差以内，约 99.7% 落在三个标准差以内。本计算器只需输入均值（\(\mu\)）和标准差（\(\sigma\)），就能立即算出这三个区间。
如何使用本计算器
输入数据集的均值和标准差，即可读取三个区间。首要结果显示 \(\mu \pm 1\sigma\) 区间，约覆盖 68% 的观测值；下方表格则进一步扩展到 95% 和 99.7% 的区间。请注意，该法则仅适用于近似服从正态分布的数据。
公式详解
每个区间都基于同一个简洁的表达式：
$$\mu \pm k\sigma = \text{Mean }(\mu) \pm k \cdot \text{SD }(\sigma), \quad k = 1, 2, 3$$其中 \(k\) 取 1、2 或 3。下界为均值减去 \(k\) 倍标准差，上界为均值加上 \(k\) 倍标准差。\(k\) 值越大，区间越宽，所覆盖的数据比例也越高。
$$\begin{gathered} \mu \pm k\sigma = \text{Mean }(\mu) \pm k \cdot \text{SD }(\sigma) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} 68\% &: \mu \pm 1\sigma \\ 95\% &: \mu \pm 2\sigma \\ 99.7\% &: \mu \pm 3\sigma \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
实例演示
假设某次考试成绩近似服从正态分布，均值为 100，标准差为 15。那么 68% 的成绩落在 85 到 115 之间（\(100 \pm 15\)），95% 落在 70 到 130 之间（\(100 \pm 30\)），99.7% 落在 55 到 145 之间（\(100 \pm 45\)）。也就是说，几乎所有成绩都集中在 55 到 145 之间。
常见问题
经验法则总是成立吗？并非如此——它只适用于近似正态（对称且呈钟形）的数据。对于偏态数据，应改用切比雪夫不等式（Chebyshev's inequality）。
为什么是 68%、95% 和 99.7%？这些比例来自标准正态曲线下、距均值 1、2、3 个标准差范围内所对应的面积。
超过 3σ 的数值怎么办？只有约 0.3% 的数据落在三个标准差之外，因此这类观测值通常被视为罕见情况或潜在的异常值。
