辛普森法则计算器

输入计算

结果

积分近似值（辛普森法则）

2.666667

≈ ∫ f(x) dx

步长 Δx	0.5
f(a) = f₀	0
f(b) = fₙ	4
奇数下标 f 之和	2.5
偶数下标 f 之和	1
子区间数 (n)	4

什么是辛普森法则？

辛普森法则是一种数值积分方法，它通过在每三个点上拟合一条抛物线来近似曲线下方的面积。对于光滑函数而言，它比梯形法则精确得多，因为它能捕捉曲线的弯曲变化，而不只是用直线段去逼近。本计算器采用复合辛普森 1/3 法则，可在区间 $[a, b]$ 上对任意单变量函数 $f(x)$ 进行积分计算。

按辛普森法则在成对子区间上用抛物线弧近似的曲线 — 辛普森法则用过点的抛物线来近似曲线下的面积。

如何使用本计算器

请用 x 作为变量来输入函数，例如 x^2、sin(x) 或 exp(-x)*cos(x)。支持的运算符有 + − * / ^，可用函数包括 sin、cos、tan、exp、ln、log、sqrt 和 abs（三角函数的角度均以弧度计）。接着设置积分下限 $a$、上限 $b$ 以及子区间数 $n$。由于该方法是将相邻两个区间合并成一条抛物线，因此 $n$ 必须为偶数；若输入奇数，系统会自动向上取整为偶数。

公式详解

积分区间被等分为 $n$ 段，每段宽度为 $\Delta x = (b - a)/n$，得到采样点 $x_0$、$x_1$、……、$x_n$。两个端点 $f_0$ 和 $f_n$ 的权重为 1，奇数下标的内部点权重为 4，偶数下标的内部点权重为 2。将这些加权值相加后乘以 $\Delta x/3$，即可得到积分的近似值。

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\!\!\sum_{i\,\text{odd}}\!\! f(x_i) + 2\!\!\sum_{i\,\text{even}}\!\! f(x_i) + f(x_n) \right]$$

按辛普森法则权重模式1,4,2,4,2,4,1标注的子区间点 — 端点权重为1，奇数序号点为4，偶数内部点为2。

实例演算

对 $f(x) = x^2$ 在 0 到 2 上积分，取 $n = 4$。此时 $\Delta x = 0.5$，采样点为 0、0.5、1、1.5、2，对应函数值为 0、0.25、1、2.25、4。奇数项之和 $= 0.25 + 2.25 = 2.5$；偶数项之和 $= 1$。结果 $$= \frac{0.5}{3}\cdot[0 + 4(2.5) + 2(1) + 4] = \frac{0.5}{3}\cdot 16 = 2.6667$$ 与精确值 $8/3$ 完全吻合。