Quy Tắc Simpson Là Gì?
Quy tắc Simpson là một kỹ thuật tính tích phân theo phương pháp số, ước lượng diện tích dưới đường cong bằng cách dựng các parabol đi qua từng nhóm ba điểm. So với quy tắc hình thang, phương pháp này cho độ chính xác cao hơn nhiều đối với các hàm trơn, bởi nó nắm bắt được độ cong của đường cong chứ không chỉ nối các đoạn thẳng. Máy tính này tính giá trị của bất kỳ hàm một biến \(f(x)\) nào trên đoạn \([a, b]\) bằng quy tắc Simpson 1/3 dạng tổng hợp.
Cách Sử Dụng Máy Tính
Nhập hàm số của bạn với x làm biến — ví dụ x^2, sin(x) hay exp(-x)*cos(x). Các phép toán được hỗ trợ là + − * / ^ cùng các hàm sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt và abs (góc tính theo radian). Hãy đặt cận dưới \(a\), cận trên \(b\) và số khoảng chia \(n\). Vì phương pháp này ghép từng cặp khoảng thành một parabol nên n bắt buộc phải là số chẵn; nếu bạn nhập số lẻ, hệ thống sẽ tự động làm tròn lên.
Giải Thích Công Thức
Đoạn \([a, b]\) được chia thành \(n\) phần bằng nhau, mỗi phần có độ rộng \(\Delta x = (b - a)/n\), tạo ra các điểm mẫu \(x_0, x_1, \ldots, x_n\). Hai điểm đầu mút \(f_0\) và \(f_n\) có trọng số 1, các điểm bên trong có chỉ số lẻ có trọng số 4, còn các điểm bên trong có chỉ số chẵn có trọng số 2. Tổng có trọng số sau đó được nhân với \(\Delta x/3\) để cho ra giá trị ước lượng của tích phân.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\!\!\sum_{i\,\text{odd}}\!\! f(x_i) + 2\!\!\sum_{i\,\text{even}}\!\! f(x_i) + f(x_n) \right]$$
Ví Dụ Minh Họa
Hãy tính tích phân \(f(x) = x^2\) từ 0 đến 2 với \(n = 4\). Khi đó \(\Delta x = 0{,}5\) và các điểm là 0, 0,5, 1, 1,5, 2 với các giá trị tương ứng 0, 0,25, 1, 2,25, 4. Tổng các chỉ số lẻ \(= 0{,}25 + 2{,}25 = 2{,}5\); tổng các chỉ số chẵn \(= 1\). Kết quả:
$$\frac{0{,}5}{3}\cdot\left[0 + 4(2{,}5) + 2(1) + 4\right] = \frac{0{,}5}{3}\cdot 16 = 2{,}6667$$đúng bằng giá trị chính xác \(8/3\).
Câu Hỏi Thường Gặp
Vì sao n phải là số chẵn? Mỗi parabol trải dài qua hai khoảng chia, nên tổng số khoảng phải chia hết cho 2.
Độ chính xác ra sao? Sai số giảm theo lũy thừa bậc bốn của \(\Delta x\), vì vậy khi tăng gấp đôi \(n\) thì sai số giảm khoảng 16 lần đối với các hàm trơn. Quy tắc Simpson cho kết quả chính xác tuyệt đối với đa thức bậc ba.
Còn về góc thì sao? Các hàm lượng giác sử dụng đơn vị radian, vì vậy hãy đổi từ độ sang radian trước nếu cần.
