Máy Tính Quy Tắc Cramer

Nhập phép tính

Kích thước hệ 2×2 3×3

Nhập ma trận hệ số A theo từng hàng và vector hằng số b. (Các ô 3×3 sẽ bị bỏ qua đối với hệ 2×2.)

a11

a12

a13

b1

a21

a22

a23

b2

a31

a32

a33

b3

Kết quả

Nghiệm

x = 1, y = 3

Định thức	Giá trị
det(A)	5
det(Aₓ) (x)	5
det(Aₕ) (y)	15

Quy tắc Cramer là gì?

Quy tắc Cramer là một phương pháp đại số kinh điển dùng định thức để giải hệ phương trình tuyến tính. Với hệ được viết dưới dạng \(A \cdot x = b\), trong đó A là ma trận hệ số vuông và b là vector các hằng số, mỗi ẩn được tìm bằng cách lấy định thức của một ma trận đã thay cột chia cho định thức của A. Phương pháp này luôn cho kết quả khi \(\det(A) \neq 0\), điều kiện đảm bảo hệ có nghiệm duy nhất.

Cách dùng máy tính này

Trước tiên hãy chọn kích thước hệ của bạn: 2×2 (hai phương trình, hai ẩn x và y) hay 3×3 (ba phương trình, ba ẩn x, y và z). Nhập các hệ số của ma trận A vào lưới theo từng hàng, rồi nhập các hằng số ở vế phải vào cột b. Nhấn tính toán để xem từng ẩn cùng với \(\det(A)\) và các định thức thay cột \(\det(A_x)\), \(\det(A_y)\) và \(\det(A_z)\). Nếu \(\det(A)\) bằng 0, máy tính sẽ báo cho bạn biết hệ không có nghiệm duy nhất.

Giải thích công thức

Để tìm x, thay cột 1 của A bằng vector b để được \(A_x\), rồi tính \(x = \det(A_x) / \det(A)\). Để tìm y, thay cột 2 để được \(A_y\); để tìm z, thay cột 3. Mẫu số \(\det(A)\) giống nhau cho mọi ẩn, nên chỉ cần tính một lần.

$$x = \dfrac{D_x}{D},\quad y = \dfrac{D_y}{D} \qquad \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \\[0.4em] D_x &= \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix} \\[0.4em] D_y &= \begin{vmatrix} a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix} \end{aligned} \right.$$

Quy tắc Cramer: thay cột i của A bằng vектơ b để tạo A_i, rồi chia các định thức.

Ví dụ minh họa

Giải hệ \(2x + y = 5\) và \(x + 3y = 10\). Ở đây $$\det(A) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5.$$ Thay cột 1 bằng b ta có $$\det(A_x) = 5 \cdot 3 - 1 \cdot 10 = 5,$$ nên \(x = 5/5 = 1\). Thay cột 2 ta có $$\det(A_y) = 2 \cdot 10 - 5 \cdot 1 = 15,$$ nên \(y = 15/5 = 3\). Vậy nghiệm là \(x = 1\), \(y = 3\).

Với hệ 2×2, mỗi ẩn số bằng tỉ số của hai định thức 2×2.

Câu hỏi thường gặp

Nếu \(\det(A) = 0\) thì sao? Khi đó hệ hoặc vô nghiệm, hoặc có vô số nghiệm; quy tắc Cramer không thể đưa ra nghiệm duy nhất, vì vậy hãy dùng phương pháp khử Gauss thay thế.

Có dùng được cho hệ lớn hơn không? Về mặt toán học thì có, nhưng quy tắc Cramer trở nên rất tốn công tính toán khi vượt quá 3×3. Công cụ này tập trung vào hai trường hợp phổ biến nhất trong học tập.

Hệ số có thể là số âm hay số thập phân không? Được. Bạn có thể nhập bất kỳ số thực nào, kể cả số âm và số thập phân, vào mọi ô.