क्रैमर नियम कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

निकाय का आकार 2×2 3×3

गुणांक मैट्रिक्स A को पंक्ति-दर-पंक्ति भरें और स्थिरांक सदिश b डालें। (2×2 निकाय के लिए 3×3 फ़ील्ड को छोड़ दिया जाता है।)

a11

a12

a13

b1

a21

a22

a23

b2

a31

a32

a33

b3

परिणाम

हल

x = 1, y = 3

डिटरमिनेंट	मान
det(A)	5
det(Aₓ) (x)	5
det(Aₕ) (y)	15

क्रैमर नियम क्या है?

क्रैमर नियम (Cramer's Rule) रैखिक समीकरणों के निकाय को डिटरमिनेंट की मदद से हल करने की एक पुरानी और भरोसेमंद बीजगणितीय विधि है। जब किसी निकाय को \(A \cdot x = b\) के रूप में लिखा जाता है — जहाँ A गुणांकों का वर्ग मैट्रिक्स है और b स्थिरांकों का सदिश — तब हर अज्ञात राशि को एक संशोधित मैट्रिक्स के डिटरमिनेंट को A के डिटरमिनेंट से भाग देकर निकाला जाता है। यह विधि तभी काम करती है जब \(\det(A)\) शून्य न हो, क्योंकि यही शर्त एक अद्वितीय (यूनीक) हल की गारंटी देती है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

सबसे पहले चुनें कि आपका निकाय 2×2 है (दो समीकरण, अज्ञात x और y) या 3×3 (तीन समीकरण, अज्ञात x, y और z)। अब मैट्रिक्स A के गुणांकों को ग्रिड में पंक्ति-दर-पंक्ति भरें और दायीं ओर के स्थिरांकों को b कॉलम में डालें। "गणना करें" दबाते ही आपको हर अज्ञात राशि के साथ \(\det(A)\) और बदले हुए डिटरमिनेंट \(\det(A_x)\), \(\det(A_y)\) तथा \(\det(A_z)\) दिखाई देंगे। अगर \(\det(A)\) शून्य निकलता है, तो कैलकुलेटर बता देगा कि निकाय का कोई अद्वितीय हल नहीं है।

सूत्र को समझें

x निकालने के लिए A के पहले कॉलम को सदिश b से बदलकर \(A_x\) बनाइए, फिर \(x = \det(A_x) / \det(A)\) की गणना कीजिए। y के लिए दूसरे कॉलम को बदलकर \(A_y\) बनाइए और z के लिए तीसरे कॉलम को। ध्यान दें कि हर (denominator) \(\det(A)\) सभी अज्ञातों के लिए एक ही रहता है, इसलिए इसे केवल एक बार गिना जाता है।

$$x = \dfrac{D_x}{D},\quad y = \dfrac{D_y}{D} \qquad \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \\[0.4em] D_x &= \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix} \\[0.4em] D_y &= \begin{vmatrix} a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix} \end{aligned} \right.$$

क्रैमर का नियम: A_i बनाने के लिए A के कॉलम i को सदिश b से बदलें, फिर सारणिकों को विभाजित करें।

हल किया गया उदाहरण

आइए \(2x + y = 5\) और \(x + 3y = 10\) को हल करें। यहाँ $$\det(A) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5$$ होगा। पहले कॉलम को b से बदलने पर $$\det(A_x) = 5 \cdot 3 - 1 \cdot 10 = 5$$ मिलता है, इसलिए \(x = 5/5 = 1\)। दूसरे कॉलम को बदलने पर $$\det(A_y) = 2 \cdot 10 - 5 \cdot 1 = 15$$ मिलता है, इसलिए \(y = 15/5 = 3\)। अतः हल है \(x = 1\), \(y = 3\)।

2×2 निकाय में, प्रत्येक अज्ञात दो 2×2 सारणिकों के अनुपात के बराबर होता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अगर \(\det(A) = 0\) हो तो? ऐसी स्थिति में निकाय का या तो कोई हल नहीं होता या असीमित हल होते हैं; क्रैमर नियम कोई अद्वितीय उत्तर नहीं दे पाता, इसलिए ऐसे में गॉसियन उन्मूलन (Gaussian elimination) का प्रयोग करें।

क्या यह बड़े निकायों पर भी काम करता है? गणितीय रूप से हाँ, लेकिन 3×3 से बड़े निकायों में क्रैमर नियम काफ़ी जटिल और समय-साध्य हो जाता है। यह टूल कक्षा में सबसे आम दो मामलों — 2×2 और 3×3 — को कवर करता है।

क्या गुणांक ऋणात्मक या दशमलव हो सकते हैं? हाँ। आप किसी भी फ़ील्ड में कोई भी वास्तविक संख्या डाल सकते हैं, चाहे वह ऋणात्मक हो या दशमलव।