¿Qué es la regla de Cramer?
La regla de Cramer es un método algebraico clásico para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante determinantes. Para un sistema escrito como \(A \cdot x = b\), donde \(A\) es la matriz cuadrada de coeficientes y \(b\) es el vector de términos independientes, cada incógnita se obtiene dividiendo el determinante de una matriz modificada entre el determinante de \(A\). El método funciona siempre que \(\det(A)\) sea distinto de cero, lo que garantiza una única solución.
Cómo usar esta calculadora
Elige primero si tu sistema es 2×2 (dos ecuaciones con las incógnitas x e y) o 3×3 (tres ecuaciones con las incógnitas x, y y z). Escribe los coeficientes de la matriz \(A\) en la cuadrícula, fila por fila, y los términos independientes en la columna \(b\). Pulsa calcular para ver cada incógnita junto con \(\det(A)\) y los determinantes sustituidos \(\det(A_x)\), \(\det(A_y)\) y \(\det(A_z)\). Si \(\det(A)\) vale cero, la calculadora te avisa de que el sistema no tiene solución única.
La fórmula paso a paso
Para hallar x, sustituye la columna 1 de \(A\) por el vector \(b\) y forma \(A_x\); después calcula \(x = \det(A_x) / \det(A)\). Para y, sustituye la columna 2 y obtén \(A_y\); para z, sustituye la columna 3. El denominador \(\det(A)\) es el mismo para todas las incógnitas, así que solo se calcula una vez.
$$x = \dfrac{D_x}{D},\quad y = \dfrac{D_y}{D} \qquad \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \\[0.4em] D_x &= \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix} \\[0.4em] D_y &= \begin{vmatrix} a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix} \end{aligned} \right.$$
Ejemplo resuelto
Resolvamos \(2x + y = 5\) y \(x + 3y = 10\). Aquí \(\det(A) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5\). Al sustituir la columna 1 por \(b\) obtenemos \(\det(A_x) = 5 \cdot 3 - 1 \cdot 10 = 5\), de modo que \(x = 5/5 = 1\). Al sustituir la columna 2 resulta \(\det(A_y) = 2 \cdot 10 - 5 \cdot 1 = 15\), de modo que \(y = 15/5 = 3\). La solución es \(x = 1\), \(y = 3\).
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si \(\det(A) = 0\)? El sistema no tiene solución o tiene infinitas; la regla de Cramer no puede dar una respuesta única, así que conviene usar la eliminación de Gauss en su lugar.
¿Sirve para sistemas más grandes? Matemáticamente sí, pero la regla de Cramer resulta muy costosa de calcular más allá de 3×3. Esta herramienta cubre los dos casos más habituales en clase.
¿Los coeficientes pueden ser negativos o decimales? Sí. Puedes introducir cualquier número real, incluidos negativos y decimales, en cualquier casilla.
