Qu'est-ce que la règle de Cramer ?
La règle de Cramer est une méthode algébrique classique permettant de résoudre un système d'équations linéaires à l'aide des déterminants. Pour un système écrit sous la forme \(A \cdot x = b\), où \(A\) désigne la matrice carrée des coefficients et \(b\) le vecteur des termes constants, chaque inconnue s'obtient en divisant le déterminant d'une matrice modifiée par le déterminant de \(A\). La méthode fonctionne dès lors que \(\det(A)\) est différent de zéro, ce qui garantit l'existence d'une solution unique.
Comment utiliser ce calculateur
Commencez par indiquer si votre système est de type 2×2 (deux équations, inconnues \(x\) et \(y\)) ou 3×3 (trois équations, inconnues \(x\), \(y\) et \(z\)). Renseignez ensuite les coefficients de la matrice \(A\) dans la grille, ligne par ligne, ainsi que les termes constants dans la colonne \(b\). Cliquez sur « Calculer » pour afficher chaque inconnue ainsi que \(\det(A)\) et les déterminants de remplacement \(\det(A_x)\), \(\det(A_y)\) et \(\det(A_z)\). Si \(\det(A)\) vaut zéro, le calculateur vous indique que le système n'admet pas de solution unique.
La formule expliquée
Pour déterminer \(x\), on remplace la première colonne de \(A\) par le vecteur \(b\) afin de former \(A_x\), puis l'on calcule \(x = \det(A_x) / \det(A)\). Pour \(y\), on remplace la deuxième colonne pour obtenir \(A_y\) ; pour \(z\), la troisième colonne. Le dénominateur \(\det(A)\) reste identique pour toutes les inconnues : il n'est donc calculé qu'une seule fois.
$$x = \dfrac{D_x}{D},\quad y = \dfrac{D_y}{D} \qquad \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \\[0.4em] D_x &= \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix} \\[0.4em] D_y &= \begin{vmatrix} a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix} \end{aligned} \right.$$
Exemple résolu
Résolvons \(2x + y = 5\) et \(x + 3y = 10\). Ici, \(\det(A) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5\). En remplaçant la première colonne par \(b\), on obtient \(\det(A_x) = 5 \cdot 3 - 1 \cdot 10 = 5\), d'où \(x = 5/5 = 1\). En remplaçant la deuxième colonne, on obtient \(\det(A_y) = 2 \cdot 10 - 5 \cdot 1 = 15\), d'où \(y = 15/5 = 3\). La solution est donc \(x = 1\), \(y = 3\).
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si \(\det(A) = 0\) ? Le système n'a soit aucune solution, soit une infinité de solutions ; la règle de Cramer ne peut pas fournir de réponse unique. Privilégiez alors la méthode du pivot de Gauss (élimination gaussienne).
Fonctionne-t-elle pour des systèmes plus grands ? Mathématiquement oui, mais la règle de Cramer devient très coûteuse en calculs au-delà du 3×3. Cet outil couvre les deux cas les plus courants rencontrés en cours.
Les coefficients peuvent-ils être négatifs ou décimaux ? Oui. Vous pouvez saisir n'importe quels nombres réels, y compris des valeurs négatives et décimales, dans chaque champ.
