Qu'est-ce que le calculateur d'intégration par la méthode de Simpson ?
Cet outil calcule numériquement une approximation de l'intégrale définie d'une fonction \(f(x)\) sur un intervalle \([a, b]\) à l'aide de la méthode de Simpson composite. Il s'agit de mathématiques pures, valables partout et en toutes circonstances. Le calculateur affine son estimation en doublant le nombre de sous-intervalles (2, 4, 8, 16, … jusqu'à un maximum \(N\) choisi), ce qui vous permet de suivre la convergence de la valeur étape par étape.
Comment l'utiliser
Saisissez votre fonction en fonction de x (par exemple 4/(1+x^2) ou sin(x)), fixez la borne inférieure a et la borne supérieure b, puis choisissez le nombre maximal de subdivisions N. Vous pouvez également indiquer combien de chiffres significatifs afficher. Les bornes comme la fonction acceptent des constantes telles que pi et e, ainsi que les fonctions sin, cos, tan, exp, ln, log10, sqrt, abs et bien d'autres.
La formule expliquée
Pour un nombre pair de sous-intervalles \(n\) sur \([a, b]\), le pas vaut \(h = (b - a) / n\). Avec les nœuds \(x_i = a + i\cdot h\), la méthode de Simpson affecte le poids 1 aux extrémités, le poids 4 aux nœuds intérieurs d'indice impair et le poids 2 aux nœuds intérieurs d'indice pair, puis multiplie le total par \(h/3\).
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\sum_{i\,\text{odd}} f(x_i) + 2\sum_{i\,\text{even}} f(x_i) + f(x_N) \right]$$La méthode a une erreur en \(O(h^4)\) et donne un résultat exact pour les polynômes de degré inférieur ou égal à trois.
Exemple détaillé
Prenons \(f(x) = 4/(1+x^2)\), \(a = 0\), \(b = 1\), \(n = 4\). On a alors \(h = 0{,}25\) et les valeurs aux nœuds sont 4,000000 ; 3,764706 ; 3,200000 ; 2,560000 ; 2,000000. En appliquant la méthode de Simpson :
$$S = \frac{0{,}25}{3}\cdot\left[4 + 4\cdot(3{,}764706 + 2{,}560000) + 2\cdot 3{,}200000 + 2\right] = 3{,}141569$$Avec \(N = 64\), l'estimation converge vers \(\pi \approx 3{,}14159265358979\).
FAQ
Pourquoi n doit-il être pair ? La méthode de Simpson regroupe les sous-intervalles deux par deux pour ajuster une parabole passant par trois points : leur nombre doit donc être pair. Les puissances de deux utilisées ici sont toujours paires.
Que se passe-t-il si b est inférieur à a ? Le résultat est simplement l'opposé de l'intégrale sur \([b, a]\) ; la formule gère correctement un pas négatif.
Et en cas de singularités ? Si \(f(x)\) n'est pas définie en un nœud (division par zéro, logarithme d'un nombre négatif ou nul, racine carrée d'un négatif), le résultat devient peu fiable ; le calculateur signale alors une erreur plutôt que d'afficher une valeur trompeuse.
