Calculateur d'intégration par la méthode des trapèzes

Entrez le calcul

Fonction f(x) Utilisez x comme variable. Prend en charge + - * / ^ , sin, cos, tan, exp, ln, sqrt, abs, pi.

Borne inférieure (a)

Borne supérieure (b)

Sous-intervalles (n)

Résultats

Intégrale approchée

0,335

Estimation par les trapèzes de ∫f(x) dx

Pas Δx	0,1
Sous-intervalles n	10
f(a)	0
f(b)	1

Qu'est-ce que la méthode des trapèzes ?

La méthode des trapèzes est une technique d'intégration numérique qui approxime l'aire sous une courbe en découpant l'intervalle en n sous-intervalles égaux, chaque tranche étant assimilée à un trapèze. En additionnant l'aire de tous ces trapèzes, on obtient une estimation de l'intégrale définie \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx\) — particulièrement pratique lorsqu'une primitive est difficile, voire impossible, à exprimer sous forme analytique.

La règle du trapèze approche l'aire sous f(x) à l'aide d'une série de trapèzes.

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez votre fonction en utilisant x comme variable (par exemple x^2, sin(x) ou exp(x)), puis indiquez la borne inférieure a, la borne supérieure b et le nombre de sous-intervalles n. Plus n est grand, plus le résultat est généralement précis. Le calculateur affiche l'intégrale approchée ainsi que le pas \(\Delta x\) et les valeurs aux bornes.

La formule expliquée

La méthode des trapèzes composée s'écrit :

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{\Delta x}{2}\left[ f_0 + 2(f_1 + \cdots + f_{n-1}) + f_n \right], \quad \text{avec}\quad \Delta x = \frac{b - a}{n}.$$

Les bornes \(f_0\) et \(f_n\) ne sont comptées qu'une seule fois, tandis que chaque point intérieur est compté deux fois, car il est partagé entre deux trapèzes voisins.

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Chaque bande a une largeur Δx et des hauteurs parallèles f(xi) et f(xi+1).

Exemple résolu

Approximons \(\int_{0}^{1} x^2\,dx\) avec \(n = 10\). Ici, \(\Delta x = 0{,}1\). En additionnant f aux différents nœuds, on obtient l'estimation \(0{,}335\), à comparer à la valeur exacte \(\tfrac{1}{3} \approx 0{,}3333\). Augmenter n réduit l'erreur, qui décroît à peu près comme \(\Delta x^2\).

FAQ

Pourquoi mon résultat diffère-t-il légèrement de l'intégrale exacte ? La méthode des trapèzes reste une approximation ; son erreur diminue à mesure que vous augmentez le nombre de sous-intervalles n.

Quelles fonctions sont prises en charge ? Les polynômes et les opérateurs + - * / ^, ainsi que sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs et les constantes pi et e.

Les bornes a et b peuvent-elles être inversées ? Si a > b, le résultat aura simplement le signe opposé, conformément à l'orientation de l'intégrale.