ما هي قاعدة شبه المنحرف؟
قاعدة شبه المنحرف هي إحدى طرق التكامل العددي التي تُقدّر المساحة الواقعة تحت المنحنى عبر تقسيم الفترة إلى n من الفترات الجزئية المتساوية، ومعاملة كل شريحة منها كأنها شبه منحرف. وبجمع مساحات هذه الأشباه المنحرفة جميعها نحصل على تقدير للتكامل المحدد \( \int_{a}^{b} f(x)\,dx \) — وهو أمرٌ مفيد للغاية عندما يصعب إيجاد المشتقة العكسية (التكامل) بصورة مغلقة أو يستحيل ذلك.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل دالتك مستخدماً x كمتغيّر (مثل x^2 أو sin(x) أو exp(x))، ثم حدّد الحدّ الأدنى a والحدّ الأعلى b وعدد الفترات الجزئية n. وكلما زادت قيمة n كانت النتيجة أكثر دقة في العادة. تُعيد لك الحاسبة قيمة التكامل التقريبية إلى جانب مقدار الخطوة Δx وقيمتَي طرفي الفترة.
شرح المعادلة
تُكتب قاعدة شبه المنحرف المركبة على النحو التالي:
$$ \int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{\Delta x}{2}\left[ f_0 + 2(f_1 + \cdots + f_{n-1}) + f_n \right], \quad \Delta x = \frac{b - a}{n} $$يُحسب الطرفان \(f_0\) و\(f_n\) مرة واحدة فقط، بينما تُحسب كل نقطة داخلية مرتين لأنها مشتركة بين شبهَي منحرف متجاورين.
مثال محلول
لنقرّب قيمة \( \int_{0}^{1} x^2\,dx \) عند \(n = 10\). هنا تكون \( \Delta x = 0.1 \). وبجمع قيم f عند العُقد نحصل على التقدير شبه المنحرفي \(0.335\)، مقارنةً بالقيمة الدقيقة \( \tfrac{1}{3} \approx 0.3333 \). وكلما زادت قيمة n قلّ الخطأ، الذي يتناسب تقريباً مع \( \Delta x^2 \).
الأسئلة الشائعة
لماذا تختلف نتيجتي قليلاً عن التكامل الدقيق؟ قاعدة شبه المنحرف هي طريقة تقريبية، ويقلّ خطؤها كلما زدت عدد الفترات الجزئية n.
ما الدوال المدعومة؟ كثيرات الحدود والعمليات + - * / ^، إضافةً إلى sin وcos وtan وexp وln وlog وsqrt وabs والثابتَين pi وe.
هل يمكن أن يكون ترتيب a وb عكسياً؟ إذا كان a > b فستظهر النتيجة بإشارة معاكسة فحسب، بما يتوافق مع اتجاه التكامل.
