台形公式による積分計算ツール

計算を入力してください

関数 f(x) 変数には x を使用します。+ - * / ^、sin、cos、tan、exp、ln、sqrt、abs、pi に対応しています。

下限 (a)

上限 (b)

分割数 (n)

結果

積分の近似値

0.335

∫f(x) dx の台形公式による近似値

刻み幅 Δx	0.1
分割数 n	10
f(a)	0
f(b)	1

台形公式とは？

台形公式は、曲線で囲まれた面積を近似する数値積分の手法です。積分区間をn個の等しい小区間に分割し、それぞれの区間を台形とみなして面積を計算します。これらの台形の面積をすべて足し合わせることで、定積分 \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx\) の近似値が得られます。原始関数を閉じた形で求めるのが難しい、あるいは不可能な場合にとても役立つ方法です。

台形公式は、一連の台形を用いて f(x) の下の面積を近似します。

この計算ツールの使い方

変数としてxを使い、関数を入力してください（例：x^2、sin(x)、exp(x)など）。続いて、積分区間の下限a、上限b、そして分割数nを設定します。nを大きくするほど、一般により精度の高い結果が得られます。計算結果として、積分の近似値に加え、刻み幅\(\Delta x\)と両端の値が表示されます。

公式の解説

複合台形公式は次のとおりです。

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{\Delta x}{2}\left[ f_0 + 2(f_1 + \dots + f_{n-1}) + f_n \right] \quad\text{ただし}\quad \Delta x = \frac{b - a}{n}.$$

両端の値\(f_0\)と\(f_n\)は1回だけ数えますが、内側の各点は隣り合う2つの台形に共有されるため、2回ずつ数えられます。

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各短冊は幅 Δx と平行な高さ f(xi)、f(xi+1) を持ちます。

計算例

\(\int_{0}^{1} x^2\,dx\) を \(n = 10\) で近似してみましょう。このとき \(\Delta x = 0.1\) となります。各分点でのfの値を合計すると、台形公式による近似値は \(0.335\) となり、厳密な値である \(\frac{1}{3} \approx 0.3333\) と比較できます。nを増やすと誤差は小さくなり、その誤差はおおよそ \(\Delta x^2\) に比例して減少します。

よくある質問

計算結果が厳密な積分値と少しずれるのはなぜですか？ 台形公式はあくまで近似計算です。分割数nを増やすほど誤差は小さくなります。

どんな関数に対応していますか？ 多項式や演算子 + - * / ^ に加え、sin、cos、tan、exp、ln、log、sqrt、abs、そして定数のpiとeに対応しています。

aとbの大小は逆でも構いませんか？ \(a > b\) の場合、積分の向きに応じて結果の符号が反転するだけで、問題なく計算できます。