什么是梯形法则？
梯形法则是一种数值积分方法，它把积分区间均匀划分为 n 个等宽的子区间，将每一段曲线下的小块近似看作一个梯形，再把所有梯形的面积相加，从而估算定积分 \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx\) 的值。当被积函数难以求出原函数、甚至根本无法用初等函数表示时，这种方法尤其实用。
如何使用本计算器
用 x 作为变量输入函数（例如 x^2、sin(x) 或 exp(x)），然后设定积分下限 a、上限 b 以及子区间数 n。通常 n 取值越大，结果越精确。计算器会给出积分的近似值，同时显示步长 \(\Delta x\) 以及两个端点处的函数值。
公式详解
复合梯形法则的公式为：
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{\Delta x}{2}\left[ f_0 + 2(f_1 + \cdots + f_{n-1}) + f_n \right],\quad \text{其中}\quad \Delta x = \frac{b - a}{n}.$$
两个端点 \(f_0\) 和 \(f_n\) 只计算一次，而每一个内部节点都要计算两次——因为它被相邻的两个梯形所共用。
实例演示
用 \(n = 10\) 来近似 \(\int_{0}^{1} x^2\,dx\)。此时 \(\Delta x = 0.1\)，将各节点处的函数值按公式求和，得到梯形法则的估算值 \(0.335\)，而精确值为 \(\frac{1}{3} \approx 0.3333\)。增大 \(n\) 可以缩小误差，其误差大致与 \(\Delta x^2\) 成正比。
常见问题
为什么我算出的结果和精确积分略有出入？梯形法则本质上是一种近似方法；只要增大子区间数 \(n\)，误差就会随之减小。
支持哪些函数？支持多项式以及运算符 + - * / ^，还有 sin、cos、tan、exp、ln、log、sqrt、abs，以及常数 pi 和 e。
a 和 b 的大小顺序可以颠倒吗？如果 \(a > b\)，结果只会变为相反的符号，这与积分方向（上下限互换变号）的性质是一致的。
