什麼是梯形法則？
梯形法則是一種數值積分方法，透過把積分區間分割成 n 個等寬的子區間，並將每一片切片近似為一個梯形，藉此估算曲線下方的面積。將所有梯形的面積加總起來，就能得到定積分 \( \int_{a}^{b} f(x)\,dx \) 的近似值——當原函數難以求得、甚至無法寫成封閉形式時，這個方法特別好用。
如何使用本計算器
請以 x 作為變數輸入函數（例如 x^2、sin(x) 或 exp(x)），接著設定積分下限 a、上限 b，以及子區間數量 n。一般而言，n 越大，計算結果越精確。計算器會回傳近似積分值，同時顯示步長 \( \Delta x \) 以及兩個端點的函數值。
公式解析
複合梯形法則的公式如下：
$$ \int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{\Delta x}{2}\left[ f_0 + 2(f_1 + \cdots + f_{n-1}) + f_n \right] $$ 其中 \( \Delta x = \dfrac{b - a}{n} \)。
兩端點 \( f_0 \) 與 \( f_n \) 只計算一次，而每個內部節點則計算兩次，因為它同時被相鄰的兩個梯形共用。
範例演算
以 \( n = 10 \) 來近似 \( \int_{0}^{1} x^2\,dx \)。此時 \( \Delta x = 0.1 \)。將各節點上的 f 值加總後，梯形法則得到的估計值為 \( 0.335 \)，而精確值為 \( \tfrac{1}{3} \approx 0.3333 \)。增大 \(n\) 可以縮小誤差，而誤差大約與 \( \Delta x^2 \) 成正比。
常見問題
為什麼我的答案和精確積分值有些微差距？梯形法則本質上是一種近似方法；當你增加子區間數量 \(n\) 時，誤差就會隨之減小。
支援哪些函數？多項式與運算子 + - * / ^，以及 sin、cos、tan、exp、ln、log、sqrt、abs，還有常數 pi 與 e。
a 和 b 可以任意順序輸入嗎？如果 \( a > b \)，結果只會變成相反的符號，這與積分方向的定義是一致的。
