距離、中點與斜率計算機

輸入計算

點 1 的 X（x₁）

點 1 的 Y（y₁）

點 2 的 X（x₂）

點 2 的 Y（y₂）

結果

兩點之間的距離

5

單位

中點 X	2.5
中點 Y	4
中點	(2.5, 4)
斜率（m）	1.3333
Δx（x₂ − x₁）	3
Δy（y₂ − y₁）	4

這個計算機能做什麼

本工具用來分析二維座標平面上兩點之間的關係。只要輸入點 1（x₁, y₁）與點 2（x₂, y₂）的座標，就能立即得到兩點之間的距離、連接兩點線段的中點，以及通過兩點之直線的斜率。這三個量是座標幾何（解析幾何）的基礎，在代數、幾何、三角函數與物理中都會反覆出現。

如何使用

把四個座標值分別填入對應的欄位，數值可以是正數、負數或小數。按下計算後，主要區塊會顯示距離，下方表格則列出中點與斜率。若兩點的 x 值相同，代表這條直線是垂直線，此時斜率會顯示為「無定義」。

公式解析

距離來自畢氏定理，將水平變化量 \(\Delta x = \text{x}_2 - \text{x}_1\) 與垂直變化量 \(\Delta y = \text{y}_2 - \text{y}_1\) 代入：

$$d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$$

中點就是兩個 x 座標與兩個 y 座標各自取平均：

$$M = \left( \frac{\text{x}_1 + \text{x}_2}{2},\ \frac{\text{y}_1 + \text{y}_2}{2} \right)$$

斜率則是「垂直變化除以水平變化」：

$$m = \frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}$$

當 \(\text{x}_2 = \text{x}_1\) 時無定義。

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距離是斜邊，兩條直角邊是 x 和 y 的差，中點位於線段的正中間。

範例演算

以點 1 (1, 2) 與點 2 (4, 6) 為例：\(\Delta x = 3\)、\(\Delta y = 4\)，所以距離 =

$$d = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

中點 =

$$M = \left( \frac{1+4}{2}, \frac{2+6}{2} \right) = (2.5,\ 4)$$

斜率 =

$$m = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3} \approx 1.3333$$

一個例題：將相同的作法應用於兩個具體的點。

常見問題

為什麼我的斜率顯示「無定義」？垂直線沒有水平變化（\(\text{x}_2 = \text{x}_1\)），等於要除以零，因此斜率無定義。

輸入兩點的順序會有影響嗎？不會。不論先後，距離與中點都完全相同；斜率也一樣，因為分子與分母會同時變號而互相抵消。

可以使用負數座標嗎？可以——這些公式適用於任何實數，包含負數與小數。