什麼是正五邊形面積計算器？
這個工具可以直接從邊長計算出正五邊形的面積。所謂正五邊形，是指五個邊長相等、五個內角也相等的五邊形。除了面積之外，計算器還會一併算出周長與邊心距（apothem），讓你完整掌握這個圖形的幾何資訊。這是一項通用的數學工具，世界各地皆適用，不受任何國家或地區限制。
使用方法
在欄位中輸入正五邊形的邊長（\(s\)），單位可自由選擇，只要前後一致即可（公分、公尺、英吋等都可以）。計算器會以該單位的平方輸出面積。請特別注意：本公式僅適用於正五邊形，因此務必確認五個邊的長度完全相同。
公式解析
正五邊形面積的精確公式如下：
$$A = \frac{1}{4}\sqrt{5\left(5 + 2\sqrt{5}\right)}\;\text{Side}^{2}$$其中常數 \(\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}\) 約等於 \(1.720477\)。將這個常數乘以邊長的平方，就能得到面積。邊心距（apothem，即中心到任一邊的垂直距離）等於 \(s / (2\cdot\tan 36^\circ)\)，而周長則很簡單，就是 \(5\cdot s\)。
實際範例
假設有一個正五邊形，邊長為 10 個單位，那麼：
$$A = 1.720477 \times 10^{2} = 1.720477 \times 100 \approx 172.0477 \text{ 平方單位}$$周長為 \(5 \times 10 = 50\) 個單位，邊心距則為 \(10 / (2\cdot\tan 36^\circ) \approx 6.8819\) 個單位。
如何手動計算五邊形的面積
最快的方法使用閉形式常數。以下是邊長為 \(s = 6\) 的正五邊形的完整步驟。
- 將邊長平方。 \(s^2 = 6^2 = 36\)。
- 乘以五邊形常數 \(\tfrac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt5)} \approx 1.720477\): $$A = 1.720477 \times 36 \approx 61.937$$ 因此面積約為 61.937 平方單位。
- 分別求周長，將邊長乘以 5: $$P = 5s = 5 \times 6 = 30.$$
- 使用 \(a = \dfrac{s}{2\tan 36^\circ}\) 求邊心距。由於 \(\tan 36^\circ \approx 0.726543\): $$a = \frac{6}{2 \times 0.726543} = \frac{6}{1.453085} \approx 4.12915.$$
- 用邊心距公式交叉驗證。 任何正多邊形也滿足 \(A = \tfrac{1}{2}\,P \cdot a\): $$A = \tfrac{1}{2} \times 30 \times 4.12915 \approx 61.937.$$ 這與第 2 步相符，確認了結果。
恆等式 \(A = \tfrac{1}{2}\,P \cdot a\) 適用於任何正多邊形——它只是將形狀切分為全等三角形，每個三角形的底為 \(s\)，高為 \(a\)。對於五邊形，這給出五個面積為 \(\tfrac{1}{2} s a\) 的三角形，加總為 \(\tfrac{1}{2}(5s)a = \tfrac{1}{2}Pa\)。如果你改為直接知道三角形楔形的底和高，可以用 三角形面積（底 × 高）方法驗證單一楔形。
常見問題
不規則五邊形也能用嗎？不行。本公式僅適用於正五邊形。若是不規則圖形，請先把它分割成數個三角形，再把各三角形的面積加總起來。
計算器使用什麼單位？你輸入邊長時用什麼單位，面積就會以該單位的平方呈現。
常數 1.720477 是怎麼來的？它就是 \(\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}\)，對所有正五邊形而言都是固定不變的幾何常數。
