ما هي حاسبة مساحة الخماسي المنتظم؟
هذه الأداة تحسب مساحة الخماسي المنتظم — وهو مضلع له خمسة أضلاع تتساوى فيها جميع الأضلاع وجميع الزوايا الداخلية — مباشرةً من طول ضلعه. كما تعطيك المحيط والعمود الناظم (الأبوثيم) لتحصل على صورة كاملة عن هندسة الشكل. وهي أداة رياضية عامة تصلح في كل مكان ولا ترتبط ببلد معيّن.
كيفية الاستخدام
أدخل طول الضلع (\(s\)) للخماسي بأي وحدة قياس متناسقة (سنتيمتر، متر، بوصة... إلخ). تعطيك الحاسبة المساحة بمربع تلك الوحدة. تأكد من أن جميع أضلاع الخماسي متساوية في الطول، لأن هذه الصيغة تفترض أن الخماسي منتظم.
شرح الصيغة
المساحة الدقيقة للخماسي المنتظم هي:
$$A = \frac{1}{4}\sqrt{5\left(5 + 2\sqrt{5}\right)}\;\text{Side}^{2}$$
المعامل الثابت \(\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}\) يساوي تقريبًا \(1.720477\). اضربه في مربع طول الضلع لتحصل على المساحة. أما العمود الناظم — وهو المسافة العمودية من المركز إلى أحد الأضلاع — فيساوي \(s / (2\tan(36°))\)، والمحيط هو ببساطة \(5s\).
مثال محلول
لنفترض أن لدينا خماسيًا منتظمًا طول ضلعه 10 وحدات. عندئذٍ:
$$A = 1.720477 \times 10^{2} = 1.720477 \times 100 \approx 172.0477 \text{ وحدة مربعة}$$
ويكون المحيط \(5 \times 10 = 50\) وحدة، والعمود الناظم \(10 / (2\tan 36°) \approx 6.8819\) وحدة.
كيفية حساب مساحة البنتاغون يدويًا
الطريق الأسرع يستخدم الثابت المغلق الشكل. إليك الإجراء الكامل لبنتاغون منتظم بطول ضلع \(s = 6\).
- ربّع طول الضلع. \(s^2 = 6^2 = 36\).
- اضرب بثابت البنتاغون \(\tfrac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt5)} \approx 1.720477\): $$A = 1.720477 \times 36 \approx 61.937$$ إذن المساحة حوالي 61.937 وحدة مربعة.
- أوجد المحيط بشكل منفصل بضرب الضلع في 5: $$P = 5s = 5 \times 6 = 30.$$
- أوجد العروة باستخدام \(a = \dfrac{s}{2\tan 36^\circ}\). بما أن \(\tan 36^\circ \approx 0.726543\): $$a = \frac{6}{2 \times 0.726543} = \frac{6}{1.453085} \approx 4.12915.$$
- تحقق بصيغة العروة. أي مضلع منتظم يحقق أيضًا \(A = \tfrac{1}{2}\,P \cdot a\): $$A = \tfrac{1}{2} \times 30 \times 4.12915 \approx 61.937.$$ هذا يتطابق مع الخطوة 2، مما يؤكد النتيجة.
المتطابقة \(A = \tfrac{1}{2}\,P \cdot a\) تعمل لـ أي مضلع منتظم — فهي ببساطة تقسم الشكل إلى مثلثات متطابقة، كل منها له قاعدة \(s\) وارتفاع \(a\). بالنسبة لشكل خماسي الأضلاع، هذا يعطينا خمسة مثلثات بمساحة \(\tfrac{1}{2} s a\)، تجمع إلى \(\tfrac{1}{2}(5s)a = \tfrac{1}{2}Pa\). إذا كنت بدلاً من ذلك تعرف قاعدة وارتفاع إسفين المثلث بشكل مباشر، يمكنك التحقق من إسفين واحد باستخدام طريقة مساحة المثلث (القاعدة × الارتفاع).
الأسئلة الشائعة
هل تصلح هذه الحاسبة للخماسيات غير المنتظمة؟ لا. تنطبق هذه الصيغة على الخماسيات المنتظمة فقط. أما الأشكال غير المنتظمة فيمكن تقسيمها إلى مثلثات ثم جمع مساحاتها.
ما الوحدات التي تستخدمها؟ أي وحدة تُدخلها لطول الضلع؛ وتظهر المساحة بمربع تلك الوحدة.
من أين جاء الثابت 1.720477؟ هو القيمة \(\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}\)، وهو ثابت هندسي محدد لجميع الخماسيات المنتظمة.
