ما هي مساحة القطع الناقص؟
القطع الناقص (الإهليلج) هو منحنى بيضاوي الشكل يُعرَّف بنصفي قطر: نصف المحور الأكبر a (نصف أطول قطر) ونصف المحور الأصغر b (نصف أقصر قطر). وتُحسب المساحة المحصورة داخل القطع الناقص بقانون بسيط ودقيق هو \(A = \pi \cdot a \cdot b\). وعندما يتساوى a مع b، يتحوّل القطع الناقص إلى دائرة، فيختزل القانون إلى الصيغة المألوفة \(A = \pi r^2\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل طول نصف المحور الأكبر (a) ونصف المحور الأصغر (b) بأي وحدة قياس موحّدة — سنتيمترات أو أمتار أو بوصات أو غيرها. تُعيد لك الحاسبة المساحة بوحدة مربّعة من نفس الوحدة التي استخدمتها، إضافةً إلى تقدير دقيق جدًا للمحيط. وتأكّد من أن القيمتين المُدخَلتين هما نصفا الطولين (نصفا القطر)، وليس القطرين الكاملين.
شرح القانون
قانون المساحة \(A = \pi \cdot a \cdot b\) يضرب نصفَي المحورين في الثابت π (≈ 3.14159). أما المحيط فليس له صيغة مغلقة بسيطة، لذلك نعتمد على تقريب رامانوجان \(P \approx \pi[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}]\)، وهو دقيق بنسبة خطأ أقل من 0.04% للأشكال المعتادة.
مثال محلول
لنفترض أن لدينا قطعًا ناقصًا نصف محوره الأكبر 5 ونصف محوره الأصغر 3. عندئذٍ تكون المساحة $$A = \pi \times 5 \times 3 = 15\pi \approx 47.12 \text{ وحدة مربّعة}$$ ويُحسب محيط رامانوجان كالتالي: $$\pi[3(5+3) - \sqrt{(15+3)(5+9)}] = \pi[24 - \sqrt{18 \times 14}] = \pi[24 - \sqrt{252}] \approx \pi \times 8.13 \approx 25.53 \text{ وحدة}$$
الأسئلة الشائعة
هل أُدخِل نصفَي القطر أم القطرين الكاملين؟ أدخِل نصفَي المحورين (نصفي القطر). وإذا كان لديك القطران الكاملان فقط، فاقسم كلًّا منهما على 2 أولًا.
ما الوحدة التي تظهر بها النتيجة؟ تظهر المساحة بمربّع الوحدة التي تُدخِلها؛ فإذا كان a وb بالسنتيمتر، فإن المساحة ستكون بالسنتيمتر المربّع (cm²).
لماذا يكون المحيط تقريبيًا فقط؟ لأن حساب المحيط الدقيق للقطع الناقص يتطلب تكاملًا إهليلجيًا لا يملك صيغة ابتدائية بسيطة، لذا يُستعمل بدلًا منه تقريب عالي الدقة.
