¿Qué es el área de una elipse?
Una elipse es una curva con forma ovalada que queda definida por dos radios: el semieje mayor a (la mitad del diámetro más largo) y el semieje menor b (la mitad del diámetro más corto). El área que encierra la elipse se obtiene mediante una fórmula sencilla y exacta:
$$A = \pi \cdot a \cdot b$$Cuando a y b coinciden, la elipse se convierte en una circunferencia y la fórmula se reduce a la conocida \(A = \pi r^2\).
Cómo usar esta calculadora
Introduce la longitud del semieje mayor (a) y la del semieje menor (b) en una misma unidad: centímetros, metros, pulgadas, etc. La calculadora devuelve el área en unidades cuadradas de la unidad que hayas utilizado, además de una aproximación muy precisa del perímetro. Asegúrate de que ambos valores sean las semilongitudes (los radios) y no los diámetros completos.
La fórmula explicada
La fórmula del área
$$A = \pi \cdot a \cdot b$$multiplica los dos semiejes por la constante \(\pi\) (≈ 3,14159). El perímetro, en cambio, no tiene una expresión cerrada sencilla, así que recurrimos a la aproximación de Ramanujan:
$$P \approx \pi\left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]$$que ofrece una precisión mejor del 0,04 % para formas habituales.
Ejemplo resuelto
Supongamos una elipse con un semieje mayor de 5 y un semieje menor de 3. El área es
$$A = \pi \times 5 \times 3 = 15\pi \approx 47{,}12 \text{ unidades cuadradas}$$El perímetro de Ramanujan resulta
$$\pi\left[3(5+3) - \sqrt{(15+3)(5+9)}\right] = \pi\left[24 - \sqrt{18\times 14}\right] = \pi\left[24 - \sqrt{252}\right] \approx \pi \times 8{,}13 \approx 25{,}53 \text{ unidades}$$Preguntas frecuentes
¿Introduzco los radios o los diámetros? Introduce los semiejes (los radios). Si solo conoces los diámetros completos, divide cada uno entre 2 primero.
¿En qué unidades se expresa el resultado? El área se da en el cuadrado de la unidad que introduzcas; si a y b están en cm, el área estará en cm².
¿Por qué el perímetro es solo aproximado? El perímetro exacto de una elipse requiere una integral elíptica que no tiene una forma elemental, por lo que en su lugar se emplea una aproximación de alta precisión.
