Résultats

Aire de l'ellipse

47,12

unités carrées

Périmètre approché (Ramanujan)	25,53 units

Qu'est-ce que l'aire d'une ellipse ?

Une ellipse est une courbe en forme d'ovale définie par deux rayons : le demi-grand axe a (la moitié du plus grand diamètre) et le demi-petit axe b (la moitié du plus petit diamètre). L'aire délimitée par l'ellipse s'obtient grâce à une formule simple et exacte : $$A = \pi \cdot a \cdot b$$ Lorsque a est égal à b, l'ellipse devient un cercle et la formule se ramène à la célèbre $A = \pi r^2$.

Ellipse montrant le demi-grand axe a et le demi-petit axe b depuis le centre — Le demi-grand axe a et le demi-petit axe b définissent l'ellipse utilisée dans $A = \pi \cdot a \cdot b$.

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez la longueur du demi-grand axe (a) et celle du demi-petit axe (b) dans une unité cohérente — centimètres, mètres, pouces, etc. Le calculateur renvoie l'aire dans l'unité au carré correspondante, ainsi qu'une approximation très précise du périmètre. Veillez à bien entrer les demi-longueurs (les rayons), et non les diamètres complets.

La formule expliquée

La formule de l'aire $A = \pi \cdot a \cdot b$ multiplie les deux demi-axes par la constante $\pi$ (≈ 3,14159). Le périmètre, lui, n'a pas de formule fermée simple : on utilise donc l'approximation de Ramanujan $$P \approx \pi\left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]$$ dont la précision est meilleure que 0,04 % pour les formes courantes.

Cercle et ellipse côte à côte comparant le rayon r aux axes a et b — Une ellipse généralise le cercle : quand $a = b = r$, la formule de l'aire devient $\pi r^2$.

Exemple concret

Imaginons une ellipse dont le demi-grand axe vaut 5 et le demi-petit axe vaut 3. L'aire est $$A = \pi \times 5 \times 3 = 15\pi \approx 47{,}12 \text{ unités carrées}.$$ Le périmètre de Ramanujan vaut $$\pi\left[3(5+3) - \sqrt{(15+3)(5+9)}\right] = \pi\left[24 - \sqrt{18 \times 14}\right] = \pi\left[24 - \sqrt{252}\right] \approx \pi \times 8{,}13 \approx 25{,}53 \text{ unités}.$$

FAQ

Dois-je saisir les rayons ou les diamètres ? Entrez les demi-axes (les rayons). Si vous ne disposez que des diamètres complets, divisez chacun par 2 au préalable.

Dans quelle unité s'exprime le résultat ? L'aire est exprimée dans le carré de l'unité que vous saisissez ; si a et b sont en cm, l'aire est en cm².

Pourquoi le périmètre n'est-il qu'approché ? Le calcul exact du périmètre d'une ellipse fait intervenir une intégrale elliptique sans expression élémentaire ; on recourt donc à une approximation de grande précision.

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