Qu'est-ce qu'un calculateur d'ellipse ?
Une ellipse est une courbe fermée pour laquelle la somme des distances entre deux points fixes (les foyers) et n'importe quel point de la courbe reste constante. Ce calculateur part des deux mesures qui définissent une ellipse — le demi-grand axe a (la moitié du plus long diamètre) et le demi-petit axe b (la moitié du plus court diamètre) — pour vous donner instantanément l'aire, le périmètre, l'excentricité et la distance focale.
Comment l'utiliser
Saisissez le demi-grand axe a et le demi-petit axe b dans l'unité de votre choix, à condition de garder la même partout (cm, m, pouces, etc.). Cliquez sur calculer. L'aire s'exprime en unités au carré, tandis que le périmètre et la distance focale conservent l'unité linéaire saisie. Si vous intervertissez les deux valeurs, l'excentricité et la distance focale restent justes : le calculateur retient automatiquement la plus grande valeur comme grand axe.
Les formules expliquées
L'aire d'une ellipse est exacte : \(A = \pi\,a\,b\). Lorsque \(a = b\), l'ellipse devient un cercle et la formule se ramène à \(\pi r^{2}\). Le périmètre, lui, n'a pas de formule simple ; on emploie donc la célèbre approximation de Ramanujan $$P \approx \pi\left[\,3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\,\right]$$ dont la précision dépasse une partie sur dix millions pour les formes courantes. L'excentricité \(e = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}\) indique à quel point l'ellipse est allongée : 0 correspond à un cercle parfait, tandis que des valeurs proches de 1 traduisent une forme de plus en plus aplatie. La distance focale \(c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}\) donne la distance entre le centre et chaque foyer.
Exemple concret
Pour \(a = 5\) et \(b = 3\) : Aire $$A = \pi\cdot 5\cdot 3 = 15\pi \approx 47{,}12 \text{ unités carrées}$$ Périmètre $$P \approx \pi\left[3(8) - \sqrt{18\cdot 14}\right] = \pi\left[24 - \sqrt{252}\right] \approx \pi\cdot 8{,}124 \approx 25{,}527 \text{ unités}$$ Excentricité $$e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$$ Distance focale $$c = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$
FAQ
Quelles unités utiliser ? Celles que vous voulez — il suffit d'exprimer \(a\) et \(b\) dans la même unité ; l'aire est alors renvoyée dans cette unité au carré.
Pourquoi le périmètre est-il approximatif ? Le périmètre exact d'une ellipse fait appel à une intégrale elliptique qui n'admet aucune formule élémentaire. La formule de Ramanujan en offre une approximation rapide et remarquablement précise.
Que signifie une excentricité de 0 ? Une excentricité de 0 signifie que \(a = b\) : l'ellipse est en réalité un cercle.
