ما هي حاسبة القطع الناقص؟
القطع الناقص (الإهليلج) هو منحنى مغلق يكون فيه مجموع المسافتين من نقطتين ثابتتين (البؤرتين) إلى أي نقطة على المنحنى ثابتًا. تأخذ هذه الحاسبة القياسين الأساسيين اللذين يُعرّفان القطع الناقص — نصف المحور الأكبر a (نصف أطول قُطر) ونصف المحور الأصغر b (نصف أقصر قُطر) — وتعطيك على الفور المساحة والمحيط والانحراف المركزي والبُعد البؤري.
طريقة الاستخدام
أدخِل نصف المحور الأكبر a ونصف المحور الأصغر b بأي وحدة متّسقة (سنتيمتر، متر، بوصة... إلخ)، ثم اضغط على زر الحساب. ستظهر المساحة بالوحدات المربعة، بينما يظهر المحيط والبُعد البؤري بنفس الوحدات الطولية التي أدخلتها. وإذا أدخلت القيمتين بترتيب معكوس، فستظل قيمتا الانحراف المركزي والبُعد البؤري صحيحتين، لأن الحاسبة تعتمد تلقائيًا القيمة الأكبر باعتبارها المحور الأكبر.
شرح المعادلات
تُحسب مساحة القطع الناقص بدقّة تامّة عبر الصيغة: \( A = \pi\,a\,b \). وعندما يكون \( a = b \) يتحول القطع الناقص إلى دائرة، فتختزل المعادلة إلى \( \pi r^{2} \). أما المحيط فلا توجد له صيغة مغلقة بسيطة، لذا نستخدم تقريب رامانوجان الشهير \( P \approx \pi\left[\,3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\,\right] \)، وهو دقيق إلى أكثر من جزء واحد في عشرة ملايين بالنسبة للأشكال المعتادة. ويصف الانحراف المركزي \( e = \sqrt{1-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}} \) مدى استطالة القطع الناقص: فالقيمة 0 تعني دائرة مثالية، بينما تشير القيم القريبة من 1 إلى شكل مُسطّح بشكل متزايد. ويمنحك البُعد البؤري \( c = \sqrt{a^{2}-b^{2}} \) المسافة من المركز إلى كل بؤرة.
مثال تطبيقي
عند \( a = 5 \) و \( b = 3 \):
$$A = \pi\cdot 5\cdot 3 = 15\pi \approx 47.12 \text{ وحدة مربعة}$$ $$P \approx \pi\left[3(8) - \sqrt{18\cdot 14}\right] = \pi\left[24 - \sqrt{252}\right] \approx \pi\cdot 8.124 \approx 25.527 \text{ وحدة}$$ $$e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{0.64} = 0.8$$ $$c = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$الأسئلة الشائعة
ما الوحدات التي تستخدمها الحاسبة؟ أي وحدة تشاء — فقط احرص على إدخال a و b بالوحدة نفسها؛ وستظهر المساحة بمربّع تلك الوحدة.
لماذا يكون المحيط تقريبيًا؟ يتطلّب حساب المحيط الحقيقي للقطع الناقص تكاملًا إهليلجيًا ليس له صيغة مغلقة بسيطة. وتُعدّ صيغة رامانوجان تقريبًا سريعًا وبالغ الدقة.
ماذا يعني أن يكون الانحراف المركزي صفرًا؟ الانحراف المركزي الذي يساوي 0 يعني أن \( a = b \)، أي أن القطع الناقص هو في الواقع دائرة.
