Калькулятор эллипса

Введите расчет

Большая полуось (a)

Малая полуось (b)

Результатов

Площадь эллипса

47,12

квадратных единиц

Периметр (приближение Рамануджана)	25,527
Эксцентриситет	0,8
Фокусное расстояние (c)	4

Что такое калькулятор эллипса?

Эллипс — это замкнутая кривая, у которой сумма расстояний от двух фиксированных точек (фокусов) до любой точки на кривой остаётся постоянной. Этот калькулятор берёт два ключевых параметра эллипса — большую полуось a (половину наибольшего диаметра) и малую полуось b (половину наименьшего диаметра) — и мгновенно выдаёт площадь, периметр, эксцентриситет и фокусное расстояние.

Строение эллипса: большая полуось a, малая полуось b, центр и фокусы.

Как пользоваться

Введите большую полуось a и малую полуось b в любых единицах измерения, главное — в одинаковых (см, м, дюймы и т. д.). Нажмите «Рассчитать». Площадь будет выражена в квадратных единицах, а периметр и фокусное расстояние — в тех же линейных единицах, что вы ввели. Даже если вы перепутаете порядок значений, эксцентриситет и фокусное расстояние всё равно посчитаются верно: калькулятор сам выбирает большее значение в качестве большой оси.

Разбор формул

Площадь эллипса вычисляется точно: \(A = \pi\,a\,b\). Когда \(a = b\), эллипс превращается в окружность, и формула сводится к \(\pi r^{2}\). У периметра нет простого точного выражения, поэтому используется знаменитое приближение Рамануджана $$P \approx \pi\left[\,3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\,\right]$$ которое для большинства фигур даёт погрешность менее одной десятимиллионной. Эксцентриситет \(e = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}\) показывает, насколько вытянут эллипс: 0 означает идеальную окружность, а значения, приближающиеся к 1, описывают всё более сплющенную фигуру. Фокусное расстояние \(c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}\) — это расстояние от центра до каждого из фокусов.

Фокусы расположены на расстоянии c от центра, где \(c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}\).

Пример расчёта

Пусть \(a = 5\) и \(b = 3\). Площадь $$A = \pi\cdot 5\cdot 3 = 15\pi \approx 47{,}12 \text{ квадратных единиц.}$$ Периметр $$P \approx \pi\left[3\cdot 8 - \sqrt{18\cdot 14}\right] = \pi\left[24 - \sqrt{252}\right] \approx \pi\cdot 8{,}124 \approx 25{,}527 \text{ единиц.}$$ Эксцентриситет $$e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8.$$ Фокусное расстояние $$c = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4.$$

Частые вопросы

В каких единицах работает калькулятор? В любых — просто указывайте a и b в одних и тех же единицах, а площадь получится в этих единицах в квадрате.

Почему периметр считается приближённо? Точная длина эллипса выражается через эллиптический интеграл, у которого нет элементарного решения. Формула Рамануджана — очень точное и быстрое приближение.

Что означает эксцентриситет, равный 0? Эксцентриситет 0 означает, что \(a = b\), то есть эллипс на самом деле является окружностью.