楕円計算ツールとは？
楕円とは、2つの定点（焦点）からの距離の和が、曲線上のどの点でも一定になるような閉曲線のことです。この計算ツールでは、楕円を定義する2つの寸法——長半径 a（最も長い直径の半分）と短半径 b（最も短い直径の半分）——を入力するだけで、面積・周長・離心率・焦点距離を瞬時に求められます。
使い方
長半径 a と短半径 b を、同じ単位（cm、m、インチなど）で入力し、「計算」を押すだけです。面積は入力した単位の平方で、周長と焦点距離は入力と同じ長さの単位で表示されます。なお、aとbを逆に入力しても問題ありません。本ツールは大きいほうの値を自動的に長軸として扱うため、離心率と焦点距離は常に正しく計算されます。
計算式の解説
楕円の面積は厳密に \(A = \pi\,a\,b\) で求められます。a = b のときは楕円が円になり、この式は \(\pi r^{2}\) に一致します。一方、周長には単純な閉じた式が存在しないため、本ツールでは有名なラマヌジャンの近似式 $$P \approx \pi\left[\,3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\,\right]$$ を用いています。一般的な形状であれば、誤差は1000万分の1以下という高精度です。離心率 \(e = \sqrt{1-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}}\) は、楕円がどれだけ引き伸ばされているかを表します。0なら完全な円、1に近づくほど平たくつぶれた形状になります。焦点距離 \(c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}\) は、中心から各焦点までの距離を示します。
計算例
a = 5、b = 3 の場合：面積 $$A = \pi\cdot 5\cdot 3 = 15\pi \approx 47.12 \text{ 平方単位}$$ 周長 $$P \approx \pi\left[3(8) - \sqrt{18\cdot 14}\right] = \pi\left[24 - \sqrt{252}\right] \approx \pi\cdot 8.124 \approx 25.527 \text{ 単位}$$ 離心率 $$e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{0.64} = 0.8$$ 焦点距離 $$c = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$
よくある質問
どんな単位が使えますか？ お好きな単位で構いません。aとbを同じ単位でそろえれば、面積はその単位の平方で表示されます。
なぜ周長は近似値なのですか？ 楕円の正確な周長を求めるには楕円積分が必要で、初等関数による閉じた式では表せません。ラマヌジャンの公式は、非常に高精度かつ高速な近似を実現します。
離心率が0とはどういう意味ですか？ 離心率が0ということは a = b を意味し、その楕円は実際には円であることを表します。
