타원 계산기란?
타원은 두 개의 고정점(초점)에서 곡선 위 임의의 점까지의 거리 합이 항상 일정한 닫힌 곡선입니다. 이 계산기는 타원을 정의하는 두 가지 값, 즉 장반경 a(가장 긴 지름의 절반)와 단반경 b(가장 짧은 지름의 절반)를 입력받아 넓이, 둘레, 이심률, 초점 거리를 곧바로 알려줍니다.
사용 방법
장반경 a와 단반경 b를 같은 단위(cm, m, inch 등)로 입력한 뒤 계산 버튼을 누르세요. 넓이는 제곱 단위로, 둘레와 초점 거리는 입력한 길이 단위 그대로 표시됩니다. 두 값을 순서를 바꿔 입력하더라도 계산기가 자동으로 더 큰 값을 장축으로 인식하므로 이심률과 초점 거리는 정확하게 계산됩니다.
공식 풀이
타원의 넓이는 정확한 값으로 구할 수 있습니다: $$A = \pi\,a\,b$$ \(a = b\)일 때 타원은 원이 되고, 이 식은 \(\pi r^2\)로 단순화됩니다. 둘레는 간단한 닫힌 형태의 공식이 없기 때문에 라마누잔의 유명한 근사식 $$P \approx \pi\left[\,3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\,\right]$$을 사용합니다. 일반적인 형태에서는 천만 분의 일 이하의 오차로 매우 정확합니다. 이심률 $$e = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$$은 타원이 얼마나 길쭉한지를 나타냅니다. 0이면 완전한 원이고, 1에 가까워질수록 점점 더 납작한 모양이 됩니다. 초점 거리 \(c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}\)는 중심에서 각 초점까지의 거리를 의미합니다.
계산 예시
a = 5, b = 3인 경우: 넓이 $$A = \pi\cdot 5\cdot 3 = 15\pi \approx 47.12 \text{ 제곱 단위}$$ 둘레 $$P \approx \pi\left[3(8)-\sqrt{18\cdot 14}\,\right] = \pi\left[24-\sqrt{252}\,\right] \approx \pi\cdot 8.124 \approx 25.527 \text{ 단위}$$ 이심률 $$e = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \sqrt{0.64} = 0.8$$ 초점 거리 $$c = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$$
자주 묻는 질문
어떤 단위를 사용하나요? 원하는 단위 무엇이든 가능합니다. a와 b를 같은 단위로 맞추기만 하면 되며, 넓이는 그 단위의 제곱으로 표시됩니다.
둘레는 왜 근삿값인가요? 타원의 정확한 둘레를 구하려면 초등 함수로 표현할 수 없는 타원 적분이 필요합니다. 라마누잔의 공식은 매우 정확하면서도 빠르게 계산할 수 있는 근사식입니다.
이심률 0은 무엇을 뜻하나요? 이심률이 0이라는 것은 \(a = b\)라는 뜻이며, 이 경우 타원은 사실상 원입니다.
