타원 둘레 계산기란?
원과 달리 타원의 둘레(둘레 길이)는 간단한 닫힌 형태의 공식으로 표현되지 않습니다. 정확히 구하려면 제2종 완전 타원적분이 필요하기 때문입니다. 이 계산기는 대부분의 실무 상황에서 매우 정확한 결과를 주는 라마누잔의 유명한 근사식을 사용해, 타원의 두 반축인 장반경 a와 단반경 b로부터 둘레를 계산합니다.
사용 방법
장반경 a(가장 긴 지름의 절반)와 단반경 b(가장 짧은 지름의 절반)를 같은 단위로 입력하세요. 계산기는 근사 둘레와 정확한 넓이를 함께 알려 줍니다. 두 입력값은 동일한 길이 단위를 사용하며, 결과도 그 단위로 표시됩니다.
공식 설명
라마누잔의 두 번째 근사식은 다음과 같습니다.
$$P \approx \pi \left[ 3\left(a + b\right) - \sqrt{\left(3a + b\right)\left(a + 3b\right)} \right]$$넓이는 정확한 값으로 $$A = \pi \cdot a \cdot b$$입니다. \(a = b\)일 때 타원은 반지름이 \(a\)인 원이 되며, 공식은 예상대로 \(P = 2\pi a\)로 단순화됩니다.
예제 풀이
\(a = 5\), \(b = 3\)이라고 합시다. 먼저 \(3(a + b) = 3 \times 8 = 24\)입니다. 다음으로 \((3a + b)(a + 3b) = (15 + 3)(5 + 9) = 18 \times 14 = 252\)이고, \(\sqrt{252} \approx 15.8745\)입니다. 따라서 $$P \approx \pi \times (24 - 15.8745) = \pi \times 8.1255 \approx 25.527$$ 단위가 됩니다. 넓이는 \(\pi \times 5 \times 3 \approx 47.124\) 제곱 단위입니다.
자주 묻는 질문
라마누잔 근사식은 얼마나 정확한가요? 대부분의 타원에서 상대 오차는 극히 작아 보통 0.001% 미만입니다. 극단적으로 길쭉한(이심률이 매우 높은) 타원에서만 정확도가 다소 떨어집니다.
a와 b가 같으면 어떻게 되나요? 타원은 원이 되며, 공식은 정확한 둘레 \(2\pi a\)를 그대로 산출합니다.
어느 쪽이 어떤 축인가요? 장반경은 더 긴 지름의 절반, 단반경은 더 짧은 지름의 절반입니다. 공식은 \(a\)와 \(b\)에 대해 대칭이므로 입력 순서가 결과에 영향을 주지 않습니다.
