दीर्घवृत्त परिमाप कैलकुलेटर क्या है?
वृत्त के विपरीत, दीर्घवृत्त (इलिप्स) के परिमाप यानी परिधि के लिए कोई सरल बंद सूत्र नहीं होता — इसमें दूसरी कोटि का पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल (complete elliptic integral of the second kind) शामिल होता है। यह कैलकुलेटर रामानुजन के प्रसिद्ध सन्निकट सूत्र का उपयोग करता है, जो व्यावहारिक रूप से लगभग हर मामले में बेहद सटीक रहता है। यह दीर्घवृत्त के दो अर्ध-अक्षों — अर्ध-दीर्घ अक्ष a और अर्ध-लघु अक्ष b — से परिमाप निकाल देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अर्ध-दीर्घ अक्ष a (सबसे लंबे व्यास का आधा) और अर्ध-लघु अक्ष b (सबसे छोटे व्यास का आधा) को एक ही इकाई में दर्ज करें। कैलकुलेटर आपको अनुमानित परिमाप और सटीक क्षेत्रफल बताता है। दोनों इनपुट एक ही लंबाई इकाई में होते हैं, और परिणाम भी उसी इकाई में दिखता है।
सूत्र को समझें
रामानुजन का दूसरा सन्निकट सूत्र है:
$$P \approx \pi \left[ 3\left(a + b\right) - \sqrt{\left(3a + b\right)\left(a + 3b\right)} \right]$$क्षेत्रफल का सटीक मान है \(A = \pi \cdot a \cdot b\)। जब \(a = b\) होता है, तो दीर्घवृत्त त्रिज्या a वाला एक वृत्त बन जाता है और सूत्र अपेक्षित रूप से \(P = 2\pi a\) बन जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 5\) और \(b = 3\)। तब \(3(a + b) = 3 \times 8 = 24\)। इसके बाद, \((3a + b)(a + 3b) = (15 + 3)(5 + 9) = 18 \times 14 = 252\), और \(\sqrt{252} \approx 15.8745\)। तो $$P \approx \pi \times (24 - 15.8745) = \pi \times 8.1255 \approx 25.527 \text{ इकाई}$$ क्षेत्रफल \(\pi \times 5 \times 3 \approx 47.124\) वर्ग इकाई होगा।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
रामानुजन का सन्निकट सूत्र कितना सटीक है? अधिकांश दीर्घवृत्तों के लिए सापेक्ष त्रुटि बहुत ही कम होती है — अक्सर 0.001% से भी कम। केवल बेहद लंबे और पतले (अधिक उत्केंद्रता वाले) दीर्घवृत्तों के लिए ही इसकी सटीकता थोड़ी घटती है।
यदि a और b बराबर हों तो? तब दीर्घवृत्त एक वृत्त बन जाता है और सूत्र सटीक परिधि \(2\pi a\) देता है।
कौन-सा अक्ष कौन-सा है? अर्ध-दीर्घ अक्ष लंबे व्यास का आधा होता है, और अर्ध-लघु अक्ष छोटे व्यास का आधा। क्रम बदलने से परिणाम पर कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि यह सूत्र a और b में सममित है।
