楕円の周長計算機とは？
円とは違い、楕円の周長（円周）には簡単な閉じた公式が存在しません。正確に求めるには「第二種完全楕円積分」が必要になります。本ツールでは、実用上ほとんどの場面で非常に高い精度を発揮するラマヌジャンの近似式を用いて、楕円の2つの半軸――長半径 \(a\) と短半径 \(b\)――から周長を計算します。
使い方
長半径 \(a\)（最も長い直径の半分）と短半径 \(b\)（最も短い直径の半分）を、同じ単位で入力してください。計算機は周長の近似値と面積の厳密値を返します。2つの入力値は同じ長さの単位を用い、結果も同じ単位で表示されます。
計算式の解説
ラマヌジャンの第二近似式は次のとおりです。
$$P \approx \pi \left[ 3\left(a + b\right) - \sqrt{\left(3\,a + b\right)\left(a + 3\,b\right)} \right]$$
面積は厳密値 $$A = \pi \cdot a \cdot b$$ で求められます。\(a = b\) のときは楕円が半径 \(a\) の円になり、式は予想どおり \(P = 2\pi a\) に帰着します。
計算例
\(a = 5\)、\(b = 3\) の場合を考えます。まず \(3(a + b) = 3 \times 8 = 24\) です。次に \((3a + b)(a + 3b) = (15 + 3)(5 + 9) = 18 \times 14 = 252\) となり、\(\sqrt{252} \approx 15.8745\) です。したがって $$P \approx \pi \times (24 - 15.8745) = \pi \times 8.1255 \approx 25.527 \text{ 単位}$$ となります。面積は \(\pi \times 5 \times 3 \approx 47.124\) 平方単位 です。
よくある質問
ラマヌジャンの近似式はどのくらい正確ですか？ ほとんどの楕円では相対誤差はごくわずかで、多くの場合 0.001% 未満です。精度がやや落ちるのは、極端に細長い（離心率が非常に高い）楕円の場合だけです。
a と b が等しいときは？ その楕円は円になり、式は厳密な円周 \(2\pi a\) を返します。
どちらがどの軸ですか？ 長半径は長いほうの直径の半分、短半径は短いほうの直径の半分です。式は \(a\) と \(b\) について対称なので、入力する順序を入れ替えても結果は変わりません。
