Elips Çevresi Hesaplama Aracı nedir?
Daireden farklı olarak, bir elipsin çevresinin basit ve kapalı bir formülü yoktur — hesabı ikinci tür tam eliptik integrali içerir. Bu araç, pratikte karşılaşılan hemen her durumda olağanüstü hassas sonuç veren Ramanujan yaklaşımını kullanarak elipsin iki yarı ekseninden, yani büyük yarı eksen a ve küçük yarı eksen b değerlerinden çevreyi bulur.
Nasıl kullanılır?
Büyük yarı eksen a (en uzun çapın yarısı) ile küçük yarı eksen b (en kısa çapın yarısı) değerlerini aynı birimde girin. Araç, yaklaşık çevreyi ve kesin alanı verir. Her iki giriş de aynı uzunluk birimini kullanır ve sonuç da bu birim cinsinden ifade edilir.
Formülün açıklaması
Ramanujan'ın ikinci yaklaşımı şöyledir:
$$P \approx \pi \left[ 3\left(\text{a} + \text{b}\right) - \sqrt{\left(3\,\text{a} + \text{b}\right)\left(\text{a} + 3\,\text{b}\right)} \right]$$
Alan ise kesin değer olarak \(A = \pi \cdot a \cdot b\) ile bulunur. a = b olduğunda elips, yarıçapı a olan bir daireye dönüşür ve formül beklendiği gibi \(P = 2\pi a\) biçimine indirgenir.
Örnek hesaplama
Diyelim ki a = 5 ve b = 3. Önce \(3(a + b) = 3 \times 8 = 24\). Ardından \((3a + b)(a + 3b) = (15 + 3)(5 + 9) = 18 \times 14 = 252\) ve \(\sqrt{252} \approx 15{,}8745\). Buradan $$P \approx \pi \times (24 - 15{,}8745) = \pi \times 8{,}1255 \approx 25{,}527 \text{ birim}.$$ Alan ise \(\pi \times 5 \times 3 \approx 47{,}124\) birim karedir.
Sıkça Sorulan Sorular
Ramanujan yaklaşımı ne kadar hassastır? Çoğu elips için bağıl hata son derece küçüktür — genellikle %0,001'in altında. Yalnızca aşırı uzamış (yüksek dış merkezlikli) elipslerde biraz hassasiyet kaybeder.
a değeri b'ye eşitse ne olur? Elips bir daire haline gelir ve formül, kesin çevre değeri olan \(2\pi a\) sonucunu verir.
Hangi eksen hangisidir? Büyük yarı eksen, uzun çapın yarısıdır; küçük yarı eksen ise kısa çapın yarısıdır. Formül a ve b'ye göre simetrik olduğundan sıralama sonucu etkilemez.
