¿Qué es la Calculadora del Perímetro de una Elipse?
A diferencia de lo que ocurre con el círculo, el perímetro (la circunferencia) de una elipse no tiene una fórmula sencilla y exacta: en realidad depende de una integral elíptica completa de segunda especie. Esta calculadora recurre a la célebre aproximación de Ramanujan, sumamente precisa para casi cualquier uso práctico, para obtener el perímetro a partir de los dos semiejes de la elipse: el semieje mayor a y el semieje menor b.
Cómo utilizarla
Introduce el semieje mayor a (la mitad del diámetro más largo) y el semieje menor b (la mitad del diámetro más corto), ambos en la misma unidad. La calculadora te devuelve el perímetro aproximado y el área exacta. Como los dos valores comparten la misma unidad de longitud, el resultado se expresa en esas mismas unidades.
La fórmula, paso a paso
La segunda aproximación de Ramanujan es:
$$P \approx \pi \left[ 3\left(a + b\right) - \sqrt{\left(3a + b\right)\left(a + 3b\right)} \right]$$
El área, en cambio, sí tiene un valor exacto: \(A = \pi \cdot a \cdot b\). Cuando \(a = b\), la elipse se convierte en un círculo de radio \(a\) y la fórmula se reduce a \(P = 2\pi a\), tal y como cabría esperar.
Ejemplo resuelto
Imagina que \(a = 5\) y \(b = 3\). Entonces \(3(a + b) = 3 \times 8 = 24\). A continuación, \((3a + b)(a + 3b) = (15 + 3)(5 + 9) = 18 \times 14 = 252\), y \(\sqrt{252} \approx 15{,}8745\). Por tanto, $$P \approx \pi \times (24 - 15{,}8745) = \pi \times 8{,}1255 \approx 25{,}527 \text{ unidades.}$$ El área es \(\pi \times 5 \times 3 \approx 47{,}124\) unidades cuadradas.
Preguntas frecuentes
¿Qué precisión tiene la aproximación de Ramanujan? En la mayoría de las elipses el error relativo es minúsculo, normalmente inferior al 0,001 %. Solo pierde algo de exactitud en elipses extremadamente alargadas (de excentricidad muy alta).
¿Qué pasa si a es igual a b? La elipse es un círculo y la fórmula proporciona la circunferencia exacta, \(2\pi a\).
¿Cuál es cada eje? El semieje mayor es la mitad del diámetro más largo; el semieje menor, la mitad del más corto. El orden en que los introduzcas no altera el resultado, ya que la fórmula es simétrica en \(a\) y \(b\).
