Qu'est-ce que le calculateur du périmètre d'une ellipse ?
Contrairement au cercle, le périmètre (ou circonférence) d'une ellipse ne possède pas de formule exacte simple : son calcul fait intervenir une intégrale elliptique complète de seconde espèce. Ce calculateur s'appuie sur la célèbre approximation de Ramanujan, remarquablement précise dans la plupart des cas concrets, pour déterminer le périmètre à partir des deux demi-axes de l'ellipse : le demi-grand axe a et le demi-petit axe b.
Comment l'utiliser
Saisissez le demi-grand axe a (la moitié du plus grand diamètre) et le demi-petit axe b (la moitié du plus petit diamètre), exprimés dans la même unité. Le calculateur renvoie le périmètre approché ainsi que l'aire exacte. Les deux valeurs utilisent la même unité de longueur, et le résultat est exprimé dans cette même unité.
La formule expliquée
La deuxième approximation de Ramanujan s'écrit :
$$P \approx \pi \left[ 3\left(\text{a} + \text{b}\right) - \sqrt{\left(3\,\text{a} + \text{b}\right)\left(\text{a} + 3\,\text{b}\right)} \right]$$
L'aire, quant à elle, est exacte : \(A = \pi \cdot a \cdot b\). Lorsque \(a = b\), l'ellipse devient un cercle de rayon \(a\), et la formule se réduit logiquement à \(P = 2\pi a\).
Exemple détaillé
Prenons \(a = 5\) et \(b = 3\). On a alors \(3(a + b) = 3 \times 8 = 24\). Ensuite, \((3a + b)(a + 3b) = (15 + 3)(5 + 9) = 18 \times 14 = 252\), et \(\sqrt{252} \approx 15{,}8745\). Donc \(P \approx \pi \times (24 - 15{,}8745) = \pi \times 8{,}1255 \approx 25{,}527\) unités. L'aire vaut \(\pi \times 5 \times 3 \approx 47{,}124\) unités carrées.
Questions fréquentes
Quelle est la précision de l'approximation de Ramanujan ? Pour la plupart des ellipses, l'erreur relative est infime, souvent inférieure à 0,001 %. Elle ne perd un peu de précision que pour les ellipses extrêmement allongées (à forte excentricité).
Que se passe-t-il si a est égal à b ? L'ellipse devient un cercle et la formule donne la circonférence exacte, soit \(2\pi a\).
Comment distinguer les deux axes ? Le demi-grand axe correspond à la moitié du plus grand diamètre, et le demi-petit axe à la moitié du plus petit. L'ordre n'a aucune incidence sur le résultat, car la formule est symétrique en a et b.
