À quoi sert ce calculateur d'équation réduite d'ellipse ?
Cet outil construit l'équation réduite d'une ellipse à partir des coordonnées de son centre et de ses deux demi-axes. L'équation réduite permet de lire immédiatement le centre, l'orientation et les dimensions de l'ellipse ; c'est aussi le point de départ pour déterminer les foyers, l'aire, le périmètre et l'excentricité. Le calculateur fonctionne pour toute ellipse dont les axes sont parallèles aux axes du repère. Il s'agit de mathématiques pures, valables partout, sans aucune contrainte de pays ni de réglementation.
Comment l'utiliser
Saisissez les coordonnées du centre h (en x) et k (en y), puis indiquez les deux demi-axes : a, mesuré selon l'axe des x, et b, mesuré selon l'axe des y. Le calculateur assemble l'équation et affiche le demi-grand axe A, le demi-petit axe B, la distance focale c, l'excentricité e, l'aire ainsi qu'une valeur approchée du périmètre.
La formule expliquée
L'équation réduite s'écrit :
$$\frac{\left(x - \text{h}\right)^2}{\text{a}^{\,2}} + \frac{\left(y - \text{k}\right)^2}{\text{b}^{\,2}} = 1$$
La plus grande valeur entre a et b correspond au demi-grand axe A ; la plus petite au demi-petit axe B. La distance du centre à chaque foyer vaut \(c = \sqrt{A^2 - B^2}\), l'excentricité est \(e = \frac{c}{A}\) (comprise entre 0 pour un cercle et 1 pour une ellipse très aplatie), l'aire est égale à \(\pi\cdot a\cdot b\), et le périmètre s'obtient grâce à l'approximation très précise de Ramanujan : \(P \approx \pi(A + B)\cdot\left(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}}\right)\), avec \(h = \frac{(A - B)^2}{(A + B)^2}\).
Exemple résolu
Pour un centre (2 ; −1) avec a = 5 et b = 3, l'équation est $$\frac{(x - 2)^2}{5^2} + \frac{(y + 1)^2}{3^2} = 1.$$ Ici A = 5 et B = 3, donc \(c = \sqrt{25 - 9} = 4\), l'excentricité \(e = \frac{4}{5} = 0{,}8\), l'aire \(= \pi\cdot 5\cdot 3 \approx 47{,}12\) et le périmètre \(\approx 25{,}53\).
Foire aux questions
Quel axe est le « grand axe » ? Celui dont le demi-axe est le plus grand. Si a > b, le grand axe est horizontal ; si b > a, il est vertical.
Que se passe-t-il si a = b ? L'ellipse devient un cercle : son excentricité est nulle et les deux foyers se confondent au centre.
Le périmètre est-il exact ? Non, il n'existe pas de formule exacte sous forme close ; la valeur repose sur l'approximation de Ramanujan, dont la précision dépasse largement 0,01 % pour les ellipses courantes.
