Ce que fait ce calculateur
Une fonction du second degré sous forme développée s'écrit \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Sa représentation graphique est une parabole, et le point le plus important de cette courbe est le sommet : c'est le point le plus haut si la parabole est tournée vers le bas (\(a < 0\)), ou le point le plus bas si elle est tournée vers le haut (\(a > 0\)). Cet outil transforme directement les coefficients de la forme développée en coordonnées du sommet \((h, k)\), sans que vous ayez à mettre l'expression sous forme canonique à la main.
Comment l'utiliser
Saisissez les trois coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) de votre fonction du second degré. La valeur de \(a\) ne doit pas être nulle (sinon l'équation est affine et non du second degré). Cliquez sur « Calculer » et vous obtenez aussitôt l'abscisse \(h\), l'ordonnée \(k\) et l'axe de symétrie d'équation \(x = h\).
La formule expliquée
L'abscisse du sommet est donnée par \(h = -\frac{b}{2a}\). Elle correspond à l'axe de symétrie de la parabole. En réinjectant \(h\) dans la fonction, on obtient l'ordonnée du sommet, qui se simplifie en \(k = c - \frac{b^2}{4a}\). L'ensemble \((h, k)\) constitue le sommet, et l'équation peut alors se réécrire sous la forme canonique \(f(x) = a(x - h)^2 + k\).
$$\left(h,\,k\right) = \left( -\frac{\text{b}}{2\,\text{a}},\ \ \text{c} - \frac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}} \right)$$
Exemple concret
Prenons \(f(x) = x^2 - 6x + 5\), soit \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\). Alors
$$h = -\frac{-6}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3.$$Et
$$k = 5 - \frac{(-6)^2}{4 \times 1} = 5 - \frac{36}{4} = 5 - 9 = -4.$$Le sommet est donc \((3, -4)\) et l'axe de symétrie a pour équation \(x = 3\).
Foire aux questions
Que se passe-t-il si \(a\) est négatif ? Les formules restent identiques : la parabole est simplement tournée vers le bas, si bien que le sommet correspond au maximum et non au minimum.
Que représente \(k\) ? C'est la valeur minimale (ou maximale) de la fonction, autrement dit l'ordonnée extrême que la parabole peut atteindre.
\(a\) peut-il être nul ? Non. Si \(a = 0\), la fonction est affine et n'a pas de sommet ; le calculateur exige donc un coefficient \(a\) non nul.
