この計算機でできること
二次関数の標準形は \(f(x) = ax^2 + bx + c\) と表されます。そのグラフは放物線になり、放物線上でもっとも重要な点が「頂点」です。放物線が下に開いている場合（\(a < 0\)）は最も高い点、上に開いている場合（\(a > 0\)）は最も低い点が頂点になります。このツールを使えば、平方完成を手計算でおこなうことなく、標準形の係数からそのまま頂点の座標 \((h, k)\) を求められます。
使い方
二次関数の3つの係数 a・b・c を入力してください。a は 0 にできません（0 だと一次式になり、二次関数ではなくなるためです）。「計算」をクリックすれば、x 座標 \(h\)、y 座標 \(k\)、そして対称軸 \(x = h\) がその場で表示されます。
公式の解説
頂点の x 座標は \(h = -b / (2a)\) で求められます。これは放物線の対称軸を表す直線でもあります。この \(h\) を関数に代入すると y 座標が得られ、整理すると \(k = c - b^2 / (4a)\) となります。この \((h, k)\) が頂点であり、方程式は頂点形 \(f(x) = a(x - h)^2 + k\) に書き換えられます。
$$\left(h,\,k\right) = \left( -\frac{b}{2\,a},\ \ c - \frac{b^{2}}{4\,a} \right)$$
計算例
\(f(x) = x^2 - 6x + 5\) を考えてみましょう。ここで \(a = 1\)、\(b = -6\)、\(c = 5\) です。すると $$h = -(-6) / (2 \times 1) = 6 / 2 = 3.$$ また $$k = 5 - (-6)^2 / (4 \times 1) = 5 - 36/4 = 5 - 9 = -4$$ となります。したがって頂点は \((3, -4)\)、対称軸は \(x = 3\) です。
よくある質問
a が負のときはどうなりますか？ 公式はそのまま使えます。ただし放物線が下に開く形になるため、頂点は最小値ではなく最大値を表す点になります。
k は何を表しますか？ \(k\) は関数の最小値（または最大値）です。つまり、この二次関数がとりうる y の極値を示します。
a を 0 にできますか？ いいえ。\(a = 0\) の場合は一次関数となり頂点は存在しません。この計算機では a に 0 以外の値が必要です。
