頂点形式（平方完成）計算ツールとは？
このツールは、一般形で書かれた2次関数 \(y = ax^2 + bx + c\) を、頂点形式 \(y = a(x - h)^2 + k\) へと変換します。頂点形式にすると、放物線の頂点（折り返し点）と軸の方程式がひと目で分かります。グラフを描くときや、最大値・最小値を求める最適化の問題を解くときにとても便利です。
使い方
お手元の2次関数から、3つの係数 a・b・c を入力するだけです。本ツールが頂点の座標 \(h\) と \(k\) を計算し、式を頂点形式に書き換えます。係数 \(a\) はそのまま引き継がれます。\(a\) は放物線の開き具合を決め、上に開くか（\(a > 0\)）下に開くか（\(a < 0\)）を左右するためです。
公式の解説
\(y = ax^2 + bx + c\) を平方完成すると、\(y = a(x - h)^2 + k\) の形になります。横方向の移動量は $$y = a\,(x - h)^2 + k \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= -\dfrac{b}{2\,a} \\ k &= c - \dfrac{b^2}{4\,a} \end{aligned} \right.$$ で、これは軸の方程式と同じ式です。縦方向の位置は \(k = c - \dfrac{b^2}{4a}\) で求められます。元の式に \(h\) を代入すると同じ \(k\) が得られるため、頂点はちょうど \((h, k)\) になります。
具体例で確認
\(y = x^2 - 4x + 3\) を考えます。ここで \(a = 1\)、\(b = -4\)、\(c = 3\) です。すると $$h = -\frac{-4}{2\cdot 1} = 2, \quad k = 3 - \frac{(-4)^2}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$ となります。よって頂点形式は \(y = (x - 2)^2 - 1\) で、頂点は \((2, -1)\) です。
よくある質問
\(a = 0\) のときはどうなりますか？ その場合、式は2次関数ではなく1次関数（直線）になり、頂点は存在しません。\(a\) には 0 以外の値を入力してください。
\(h\) は軸の方程式と同じですか？ はい。縦の直線 \(x = h\) が、放物線の軸の方程式になります。
\(a\) は負の値でもよいですか？ もちろんです。\(a\) が負のときは放物線が下に開き、頂点が最大値（最大点）になります。
