この計算ツールでできること
このツールは、標準形 \(y = ax^2 + bx + c\) で表された放物線を解析し、重要な幾何学的要素である頂点（曲線の折り返し点）、焦点、準線を求めます。この3つが分かれば、縦向き放物線の形と位置を完全に把握でき、代数や二次曲線（円錐曲線）の学習はもちろん、光学や放物運動の問題でも役立ちます。
使い方
お手元の方程式に出てくる3つの係数 a・b・c を、そのままの値で入力してください。なお、係数 a は0以外でなければなりません（0にすると曲線ではなく直線になってしまうためです）。値を入力すると、頂点の座標・焦点の位置・準線の方程式がその場で表示されます。
計算式の解説
頂点の x 座標は \(h = -\dfrac{b}{2a}\) で求まります。これを式に代入すると、y 座標は \(k = c - \dfrac{b^2}{4a}\) となります。焦点距離は \(p = \dfrac{1}{4a}\) です。a > 0 のときは放物線が上向きに開き、焦点は頂点の上側にあたる \((h,\, k + p)\) に位置し、準線は水平線 \(y = k - p\) となります。a < 0 のときは下向きに開き、p が負になることで符号も自然に反転します。
計算例
\(y = x^2 - 4x + 3\) を例にすると、a = 1、b = −4、c = 3 です。すると $$h = \frac{4}{2} = 2,\quad k = 3 - \frac{16}{4} = -1$$ となり、頂点は (2, −1) です。\(p = \dfrac{1}{4} = 0.25\) なので、焦点は (2, −0.75)、準線は \(y = -1.25\) になります。
よくある質問
a が負の場合はどうなりますか？ 放物線は下向きに開き、焦点は頂点の下側、準線は上側になります。計算式がこれを自動的に処理します。
なぜ a ≠ 0 でなければならないのですか？ a = 0 だと \(x^2\) の項がなくなり、グラフは直線になるため、頂点や焦点が存在しなくなります。
横向きの放物線にも使えますか？ いいえ。このツールは \(y = ax^2 + bx + c\) の形をした縦向きの放物線を前提としています。
