Qué hace esta calculadora
Esta herramienta analiza una parábola escrita en su forma estándar, \(y = ax^2 + bx + c\), y te devuelve sus elementos geométricos clave: el vértice (el punto crítico o de giro), el foco y la directriz. Estos tres elementos describen por completo la forma y la posición de una parábola vertical, algo muy útil en álgebra, en el estudio de las secciones cónicas, en óptica y en problemas de tiro parabólico.
Cómo usarla
Introduce los tres coeficientes a, b y c tal y como aparecen en tu ecuación. El coeficiente a no puede ser cero (de lo contrario, la curva se convierte en una recta). La calculadora te muestra al instante las coordenadas del vértice, el punto donde se sitúa el foco y la ecuación de la recta directriz.
La fórmula explicada
La coordenada x del vértice es \(h = -\frac{b}{2a}\). Al sustituir ese valor obtenemos la coordenada y: \(k = c - \frac{b^2}{4a}\). La distancia focal es \(p = \frac{1}{4a}\). Cuando \(a > 0\), la parábola se abre hacia arriba y el foco queda por encima del vértice, en \((h,\, k + p)\), mientras que la directriz es la recta horizontal \(y = k - p\). Cuando \(a < 0\), la parábola se abre hacia abajo y los signos se invierten de forma natural, ya que p pasa a ser negativo.
$$\left(-\frac{b}{2a},\; c-\frac{b^2}{4a}\right)$$$$p=\frac{1}{4a},\quad F=(h,\,k+p),\quad y=k-p$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(y = x^2 - 4x + 3\), de modo que \(a = 1\), \(b = -4\) y \(c = 3\). Entonces $$h = \frac{4}{2} = 2$$ y $$k = 3 - \frac{16}{4} = -1,$$ lo que da un vértice de \((2, -1)\). Con \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\), el foco es \((2, -0{,}75)\) y la directriz es \(y = -1{,}25\).
Preguntas frecuentes
¿Y si a es negativo? La parábola se abre hacia abajo; el foco queda por debajo del vértice y la directriz por encima. Las fórmulas tienen esto en cuenta de forma automática.
¿Por qué a tiene que ser distinto de 0? Si \(a = 0\) no existe el término \(x^2\), así que la gráfica es una recta y no tiene ni vértice ni foco.
¿Sirve para parábolas horizontales? No: esta calculadora asume una parábola vertical de la forma \(y = ax^2 + bx + c\).
