यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल मानक रूप \(y = ax^2 + bx + c\) में लिखे गए परवलय का विश्लेषण करता है और उसकी प्रमुख ज्यामितीय विशेषताएँ बताता है: शीर्ष (टर्निंग पॉइंट), फोकस और नियता (डायरेक्ट्रिक्स)। ये तीनों मिलकर एक ऊर्ध्वाधर परवलय के आकार और स्थिति को पूरी तरह परिभाषित कर देते हैं, जो बीजगणित, शांकव-खंड (कॉनिक सेक्शन) के अध्ययन, प्रकाशिकी और प्रक्षेप्य गति की समस्याओं में बहुत काम आता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने समीकरण में दिखाई देने वाले तीनों गुणांक \(a\), \(b\) और \(c\) को ठीक वैसे ही दर्ज करें। गुणांक a शून्य नहीं होना चाहिए (वरना वह वक्र एक सीधी रेखा बन जाएगा)। कैलकुलेटर तुरंत शीर्ष के निर्देशांक, फोकस बिंदु और नियता रेखा का समीकरण बता देगा।
सूत्र की व्याख्या
शीर्ष का x-निर्देशांक \(h = -\frac{b}{2a}\) होता है। इसे वापस रखने पर y-निर्देशांक \(k = c - \frac{b^2}{4a}\) मिलता है। फोकल दूरी \(p = \frac{1}{4a}\) होती है। जब \(a > 0\) हो तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है और फोकस शीर्ष के ऊपर \((h,\, k + p)\) पर होता है, जबकि नियता क्षैतिज रेखा \(y = k - p\) होती है। जब \(a < 0\) हो तो यह नीचे की ओर खुलता है और चूँकि \(p\) ऋणात्मक हो जाता है, इसलिए चिह्न अपने आप उलट जाते हैं।
$$\left(-\frac{b}{2a},\; c-\frac{b^2}{4a}\right)$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(y = x^2 - 4x + 3\), यानी \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\)। तब \(h = \frac{4}{2} = 2\) और \(k = 3 - \frac{16}{4} = -1\), अर्थात शीर्ष \((2,\, -1)\) होगा। \(p = \frac{1}{4} = 0.25\) होने पर फोकस \((2,\, -0.75)\) और नियता \(y = -1.25\) होगी।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर \(a\) ऋणात्मक हो तो क्या होगा? परवलय नीचे की ओर खुलता है; फोकस शीर्ष के नीचे और नियता उसके ऊपर होती है। ये सूत्र इसे अपने आप संभाल लेते हैं।
\(a \neq 0\) क्यों होना ज़रूरी है? अगर \(a = 0\) हो तो \(x^2\) पद ही नहीं बचता, इसलिए ग्राफ एक रेखा बन जाता है और उसका कोई शीर्ष या फोकस नहीं होता।
क्या यह क्षैतिज (बग़ल में खुलने वाले) परवलय के लिए काम करता है? नहीं — यह कैलकुलेटर केवल \(y = ax^2 + bx + c\) रूप वाले ऊर्ध्वाधर परवलय को मानकर चलता है।
