Что вычисляет этот калькулятор
Инструмент анализирует параболу, заданную в стандартном виде \(y = ax^2 + bx + c\), и находит её основные геометрические характеристики: вершину (точку экстремума), фокус и директрису. Эти три элемента полностью описывают форму и положение вертикальной параболы, что пригодится в алгебре, при изучении конических сечений, в оптике и в задачах о движении тел по параболической траектории.
Как пользоваться
Введите три коэффициента \(a\), \(b\) и \(c\) точно так, как они стоят в вашем уравнении. Коэффициент a не должен быть равен нулю — иначе кривая превращается в прямую. Калькулятор сразу же покажет координаты вершины, точку фокуса и уравнение директрисы.
Разбор формулы
Абсцисса вершины вычисляется как \(h = -\frac{b}{2a}\). Подставив это значение обратно, получаем ординату \(k = c - \frac{b^2}{4a}\). Фокальное расстояние равно \(p = \frac{1}{4a}\). При a > 0 ветви параболы направлены вверх, и фокус лежит выше вершины в точке \((h,\, k + p)\), а директриса — это горизонтальная прямая \(y = k - p\). При a < 0 ветви направлены вниз, и знаки меняются естественным образом, поскольку \(p\) становится отрицательным.
$$\left(-\frac{b}{2a},\; c-\frac{b^2}{4a}\right)$$$$p=\frac{1}{4a},\quad F=(h,\,k+p),\quad y=k-p$$
Пример с решением
Возьмём \(y = x^2 - 4x + 3\), то есть \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\). Тогда $$h = \frac{4}{2} = 2 \quad\text{и}\quad k = 3 - \frac{16}{4} = -1,$$ а значит вершина находится в точке \((2,\, -1)\). При \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\) фокус расположен в \((2,\, -0{,}75)\), а директриса задаётся уравнением \(y = -1{,}25\).
Частые вопросы
А если a отрицательное? Парабола раскрывается вниз: фокус оказывается ниже вершины, а директриса — выше неё. Формулы учитывают это автоматически.
Почему a не может быть равно нулю? Если \(a = 0\), член с \(x^2\) исчезает, график становится прямой линией — у неё нет ни вершины, ни фокуса.
Подходит ли калькулятор для «лежащих» парабол? Нет — он работает только с вертикальной параболой вида \(y = ax^2 + bx + c\).
