Что делает этот калькулятор
Инструмент анализирует любую квадратичную функцию, записанную в стандартном виде \(f(x) = ax^2 + bx + c\). С помощью выделения полного квадрата любую такую функцию можно переписать как \(f(x) = a(x - h)^2 + k\), где точка \((h, k)\) — это вершина параболы. Калькулятор находит координаты вершины и сообщает, является ли она минимумом или максимумом.
Как пользоваться
Введите три коэффициента: \(a\), \(b\) и \(c\). Коэффициент \(a\) не должен быть равен нулю — иначе выражение становится линейным, а не квадратичным. Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть x-координату вершины, значение экстремума и направление ветвей параболы: вверх (минимум) или вниз (максимум).
Разбор формулы
X-координата вершины вычисляется по формуле $$x^* = -\frac{b}{2a}.$$ Подставив это значение обратно в функцию, получаем экстремум $$k = c - \frac{b^2}{4a}.$$ Если \(a > 0\), ветви параболы направлены вверх, и эта точка является минимумом. Если \(a < 0\), ветви смотрят вниз — и перед нами максимум.
Пример с решением
Возьмём \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), то есть \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\). X-координата вершины равна $$\frac{-(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2.$$ Экстремум составляет $$3 - \frac{(-4)^2}{4 \times 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1.$$ Поскольку \(a > 0\), это минимум в точке \((2, -1)\).
Частые вопросы
Что будет, если \(a = 0\)? Тогда функция становится линейной и вершины у неё нет — калькулятор отдельно укажет на этот случай.
Является ли экстремум y-координатой вершины? Да. Вершина имеет координаты \((x^*, \text{значение экстремума})\).
Как это связано с выделением полного квадрата? Выделение полного квадрата переписывает \(ax^2 + bx + c\) в виде \(a(x - h)^2 + k\), где \(h = x^*\), а \(k\) — значение экстремума.
