这个计算器能做什么
本工具可以分析任意写成一般式 \(f(x) = ax^{2} + bx + c\) 的二次函数。通过配方法，每一个二次函数都能改写成 \(f(x) = a(x - h)^{2} + k\) 的形式，其中 \((h, k)\) 就是抛物线的顶点。计算器会帮你求出这个顶点，并判断它是最小值还是最大值。
使用方法
分别输入三个系数 \(a\)、\(b\)、\(c\)。注意系数 \(a\) 不能为 0，否则该式子是一次函数，而不是二次函数。点击「计算」即可看到顶点的 \(x\) 坐标、极值，以及抛物线是开口向上（取最小值）还是开口向下（取最大值）。
公式详解
顶点的 \(x\) 坐标为 $$x^{*} = -\frac{b}{2a}.$$ 把它代回函数中，就能得到极值 $$k = c - \frac{b^{2}}{4a}.$$ 当 \(a > 0\) 时抛物线开口向上，此处为最小值；当 \(a < 0\) 时开口向下，此处为最大值。
实例演示
以 \(f(x) = x^{2} - 4x + 3\) 为例，此时 \(a = 1\)，\(b = -4\)，\(c = 3\)。顶点的 \(x\) 坐标为 $$-\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2.$$ 极值为 $$3 - \frac{(-4)^{2}}{4 \times 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1.$$ 由于 \(a > 0\)，因此该点 \((2, -1)\) 是最小值点。
常见问题
如果 \(a = 0\) 会怎样？ 那么这个函数就是一次函数，没有顶点；计算器会提示这种情况。
极值就是顶点的 \(y\) 坐标吗？ 是的。顶点坐标即为 \((x^{*}, \text{极值})\)。
这和配方法有什么关系？ 配方法就是把 \(ax^{2} + bx + c\) 改写成 \(a(x - h)^{2} + k\) 的过程，其中 \(h = x^{*}\)，\(k\) 即为极值。
