Qué hace esta calculadora
Esta herramienta analiza cualquier función cuadrática escrita en forma estándar, \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Al completar el cuadrado, toda cuadrática puede reescribirse como \(f(x) = a(x - h)^2 + k\), donde \((h, k)\) es el vértice de la parábola. La calculadora encuentra ese vértice y te indica si se trata de un mínimo o de un máximo.
Cómo usarla
Introduce los tres coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\). El coeficiente \(a\) no puede ser cero (de lo contrario la expresión sería lineal, no cuadrática). Pulsa calcular para ver la coordenada x del vértice, el valor extremo y si la parábola abre hacia arriba (mínimo) o hacia abajo (máximo).
La fórmula explicada
La coordenada x del vértice es $$x^* = -\frac{b}{2a}.$$ Al sustituir este valor en la función obtenemos el valor extremo $$k = c - \frac{b^2}{4a}.$$ Cuando \(a > 0\) la parábola abre hacia arriba, por lo que ese punto es un mínimo. Cuando \(a < 0\) abre hacia abajo, de modo que es un máximo.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), así que \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\). La x del vértice es $$\frac{-(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2.$$ El valor extremo es $$3 - \frac{(-4)^2}{4 \times 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1.$$ Como \(a > 0\), se trata de un mínimo en el punto \((2, -1)\).
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si \(a = 0\)? En ese caso la función es lineal y no tiene vértice; la calculadora avisa de esta situación.
¿El valor extremo es la coordenada y del vértice? Sí. El vértice es \((x^*, \text{valor extremo})\).
¿Qué relación tiene esto con completar el cuadrado? Completar el cuadrado reescribe \(ax^2 + bx + c\) como \(a(x - h)^2 + k\), con \(h = x^*\) y \(k =\) el valor extremo.
