Qué hace esta calculadora
Esta herramienta convierte una circunferencia escrita en forma general, \(x^2 + y^2 + \text{D}x + \text{E}y + \text{F} = 0\), en su forma canónica (también llamada forma ordinaria o reducida), \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). Para ello completa el cuadrado tanto en los términos en x como en los términos en y, y a continuación te indica el centro de la circunferencia \((h, k)\) y el radio \(r\). Introduce los tres coeficientes D, E y F y el resultado aparece al instante.
Cómo se usa
Identifica tu ecuación con el modelo \(x^2 + y^2 + \text{D}x + \text{E}y + \text{F} = 0\). El coeficiente que acompaña a la x es D, el que acompaña a la y es E y el término independiente es F. Cuidado con los signos: en \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\) tenemos \(\text{D} = -6\), \(\text{E} = 8\) y \(\text{F} = 9\). Si tu ecuación lleva coeficientes delante de x² e y² (por ejemplo \(2x^2 + 2y^2 + \ldots\)), divide toda la ecuación entre ese número primero para que los términos al cuadrado tengan coeficiente 1.
La fórmula explicada
Completar el cuadrado en \(x^2 + \text{D}x\) consiste en sumar y restar \(\left(\frac{\text{D}}{2}\right)^2\), y lo mismo con \(\left(\frac{\text{E}}{2}\right)^2\) para los términos en y. Al pasar las constantes al otro lado obtenemos $$\left(x + \frac{\text{D}}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{\text{E}}{2}\right)^2 = \frac{\text{D}^2}{4} + \frac{\text{E}^2}{4} - \text{F}.$$ Así, el centro es \(\left(-\frac{\text{D}}{2}, -\frac{\text{E}}{2}\right)\) y el radio es la raíz cuadrada del lado derecho. Si ese valor es negativo, no existe ninguna circunferencia real; si es cero, la ecuación representa un único punto.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\), de modo que \(\text{D} = -6\), \(\text{E} = 8\) y \(\text{F} = 9\). $$\text{Centro} = \left(-\frac{-6}{2}, -\frac{8}{2}\right) = (3, -4).$$ $$r^2 = \frac{36}{4} + \frac{64}{4} - 9 = 9 + 16 - 9 = 16,$$ así que \(r = 4\). La circunferencia tiene su centro en \((3, -4)\) y un radio de 4.
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si el radio es imaginario? Si \(\frac{\text{D}^2}{4} + \frac{\text{E}^2}{4} - \text{F}\) es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales y no describe una circunferencia auténtica.
¿El centro puede estar en el origen? Sí: cuando \(\text{D} = 0\) y \(\text{E} = 0\), el centro es \((0, 0)\) y \(r = \sqrt{-\text{F}}\).
¿Por qué hay que dividir primero entre el coeficiente principal? Las fórmulas dan por hecho que los coeficientes de x² e y² valen ambos 1, que es justo la condición que define a una circunferencia en forma general.
