Công cụ này làm được gì
Công cụ giúp bạn chuyển một đường tròn viết ở dạng tổng quát, \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\), sang dạng chính tắc, \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). Cách làm là hoàn thành bình phương cho cả nhóm chứa x lẫn nhóm chứa y, rồi đưa ra tâm đường tròn \((h, k)\) cùng bán kính \(r\). Bạn chỉ cần nhập ba hệ số D, E và F, kết quả sẽ hiện ra ngay lập tức.
Cách sử dụng
Hãy đối chiếu phương trình của bạn với dạng \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\). Hệ số đứng trước x là D, hệ số đứng trước y là E, còn số hạng tự do là F. Lưu ý dấu rất quan trọng: trong phương trình \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\) thì \(D = -6\), \(E = 8\) và \(F = 9\). Nếu phương trình của bạn có hệ số trước \(x^2\) và \(y^2\) (ví dụ \(2x^2 + 2y^2 + \dots\)), hãy chia cả phương trình cho số đó trước để các số hạng bình phương có hệ số bằng 1.
Giải thích công thức
Khi hoàn thành bình phương cho \(x^2 + Dx\), ta thêm và bớt \((D/2)^2\); tương tự, với nhóm chứa y ta thêm và bớt \((E/2)^2\). Chuyển các hằng số sang vế phải, ta được $$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F.$$ Như vậy, tâm đường tròn là \((-D/2, -E/2)\) và bán kính bằng căn bậc hai của vế phải. Nếu giá trị này âm thì không tồn tại đường tròn thực; nếu bằng 0 thì phương trình chỉ biểu diễn một điểm duy nhất.
Ví dụ minh họa
Xét phương trình \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\), suy ra \(D = -6\), \(E = 8\), \(F = 9\). Tâm \(= (-(-6)/2,\ -8/2) = (3, -4)\). Bán kính $$r^2 = \frac{36}{4} + \frac{64}{4} - 9 = 9 + 16 - 9 = 16,$$ nên \(r = 4\). Vậy đường tròn có tâm tại \((3, -4)\) và bán kính bằng 4.
Câu hỏi thường gặp
Nếu bán kính là số ảo thì sao? Nếu \(\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F\) mang giá trị âm thì phương trình không có nghiệm thực và không biểu diễn một đường tròn thực sự nào.
Tâm có thể nằm tại gốc tọa độ không? Có — khi \(D = 0\) và \(E = 0\), tâm sẽ là \((0, 0)\) và \(r = \sqrt{-F}\).
Tại sao phải chia cho hệ số đứng đầu trước? Các công thức luôn giả định hệ số của \(x^2\) và \(y^2\) đều bằng 1, vì đây chính là đặc trưng nhận dạng một đường tròn ở dạng tổng quát.
