Ce que fait ce calculateur
Cet outil convertit l'équation d'un cercle écrite sous sa forme générale, \(x^2 + y^2 + \text{D}x + \text{E}y + \text{F} = 0\), en sa forme canonique, \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). Pour cela, il complète le carré sur les termes en x comme sur ceux en y, puis affiche le centre du cercle \((h, k)\) ainsi que son rayon \(r\). Saisissez les trois coefficients D, E et F : le résultat s'affiche instantanément.
Comment l'utiliser
Identifiez votre équation à la forme \(x^2 + y^2 + \text{D}x + \text{E}y + \text{F} = 0\). Le coefficient devant x correspond à D, celui devant y à E, et le terme constant isolé à F. Attention aux signes : dans \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\), on a \(\text{D} = -6\), \(\text{E} = 8\) et \(\text{F} = 9\). Si votre équation comporte des coefficients devant x² et y² (par exemple \(2x^2 + 2y^2 + \ldots\)), divisez d'abord toute l'équation par ce nombre afin que les termes au carré aient bien un coefficient égal à 1.
La formule expliquée
Compléter le carré sur \(x^2 + \text{D}x\) revient à ajouter puis retrancher \(\left(\frac{\text{D}}{2}\right)^2\), et de même \(\left(\frac{\text{E}}{2}\right)^2\) pour les termes en y. En faisant passer les constantes à droite, on obtient $$\left(x + \frac{\text{D}}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{\text{E}}{2}\right)^2 = \frac{\text{D}^2}{4} + \frac{\text{E}^2}{4} - \text{F}.$$ Le centre est donc \(\left(-\frac{\text{D}}{2}, -\frac{\text{E}}{2}\right)\) et le rayon est la racine carrée du membre de droite. Si cette valeur est négative, il n'existe aucun cercle réel ; si elle est nulle, l'équation représente un point unique.
Exemple détaillé
Prenons \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\), soit \(\text{D} = -6\), \(\text{E} = 8\), \(\text{F} = 9\). Le centre vaut $$\left(-\frac{-6}{2}, -\frac{8}{2}\right) = (3, -4).$$ Le rayon au carré est $$\frac{36}{4} + \frac{64}{4} - 9 = 9 + 16 - 9 = 16,$$ d'où \(r = 4\). Le cercle a donc pour centre \((3, -4)\) et pour rayon 4.
FAQ
Que se passe-t-il si le rayon est imaginaire ? Si \(\frac{\text{D}^2}{4} + \frac{\text{E}^2}{4} - \text{F}\) est négatif, l'équation n'a aucune solution réelle et ne décrit donc pas un véritable cercle.
Le centre peut-il se trouver à l'origine ? Oui : lorsque \(\text{D} = 0\) et \(\text{E} = 0\), le centre est \((0, 0)\) et \(r = \sqrt{-\text{F}}\).
Pourquoi diviser d'abord par le coefficient dominant ? Les formules supposent que les coefficients de x² et de y² valent tous deux 1, ce qui est la propriété caractéristique d'un cercle sous forme générale.
