Что делает этот калькулятор
Инструмент переводит уравнение окружности из общего вида \(x^2 + y^2 + \text{D}x + \text{E}y + \text{F} = 0\) в каноническую форму \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). Для этого он выделяет полный квадрат отдельно по переменным \(x\) и \(y\), а затем выдаёт координаты центра окружности \((h, k)\) и радиус \(r\). Введите три коэффициента — \(\text{D}\), \(\text{E}\) и \(\text{F}\), — и результат появится мгновенно.
Как пользоваться
Приведите своё уравнение к виду \(x^2 + y^2 + \text{D}x + \text{E}y + \text{F} = 0\). Коэффициент перед \(x\) — это \(\text{D}\), коэффициент перед \(y\) — это \(\text{E}\), а свободный член — это \(\text{F}\). Внимательно следите за знаками: в уравнении \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\) получаем \(\text{D} = -6\), \(\text{E} = 8\) и \(\text{F} = 9\). Если перед \(x^2\) и \(y^2\) стоят коэффициенты (например, \(2x^2 + 2y^2 + \ldots\)), сначала разделите всё уравнение на это число, чтобы коэффициенты при квадратах стали равны \(1\).
Разбор формулы
Чтобы выделить полный квадрат в \(x^2 + \text{D}x\), нужно прибавить и вычесть \(\left(\frac{\text{D}}{2}\right)^2\), и точно так же \(\left(\frac{\text{E}}{2}\right)^2\) для членов с \(y\). Перенеся свободные члены вправо, получаем
$$\left(x + \frac{\text{D}}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{\text{E}}{2}\right)^2 = \frac{\text{D}^2}{4} + \frac{\text{E}^2}{4} - \text{F}$$Значит, центр окружности находится в точке \(\left(-\frac{\text{D}}{2}, -\frac{\text{E}}{2}\right)\), а радиус равен квадратному корню из правой части. Если это значение отрицательно, действительной окружности не существует; если оно равно нулю, уравнение задаёт единственную точку.
Пример с решением
Возьмём \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\), то есть \(\text{D} = -6\), \(\text{E} = 8\), \(\text{F} = 9\). Центр
$$\left(-\frac{-6}{2}, -\frac{8}{2}\right) = (3, -4)$$Квадрат радиуса
$$\frac{36}{4} + \frac{64}{4} - 9 = 9 + 16 - 9 = 16$$поэтому \(r = 4\). Окружность имеет центр в точке \((3, -4)\) и радиус \(4\).
Частые вопросы
Что делать, если радиус получается мнимым? Если выражение \(\frac{\text{D}^2}{4} + \frac{\text{E}^2}{4} - \text{F}\) отрицательно, у уравнения нет действительных решений и оно не задаёт настоящую окружность.
Может ли центр находиться в начале координат? Да — когда \(\text{D} = 0\) и \(\text{E} = 0\), центр совпадает с точкой \((0, 0)\), а \(r = \sqrt{-\text{F}}\).
Зачем сначала делить на старший коэффициент? Формулы предполагают, что коэффициенты при \(x^2\) и \(y^2\) равны \(1\), — именно это свойство и определяет уравнение окружности в общем виде.
