Что считает этот калькулятор
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Её называют разностью прогрессии и обозначают \(d\). Этот калькулятор складывает первые \(n\) членов такой последовательности, если известны первый член \(a_1\), разность \(d\) и количество членов, которое нужно просуммировать. В ответе вы получите общую сумму \(S_n\), значение последнего члена \(a_n\) и среднее арифметическое всех членов.
Как пользоваться
Введите первый член \(a_1\), разность \(d\) (постоянный шаг между соседними членами — для убывающей последовательности он отрицательный) и \(n\) — количество членов, которые нужно сложить. Нажмите «Вычислить», и результат появится мгновенно.
Разбор формулы
Сумма первых \(n\) членов вычисляется по формуле $$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + \left(n - 1\right)d\right)$$ Она работает потому, что если складывать первый и последний члены попарно, каждая пара даёт одно и то же значение, а всего таких половинок ровно \(n\). Есть и эквивалентная запись: $$S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)$$ где \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — последний член прогрессии.
Пример с решением
Пусть \(a_1 = 2\), \(d = 3\) и \(n = 5\) — тогда получаем последовательность 2, 5, 8, 11, 14. Подставляем: $$S_n = \frac{5}{2}\left(2\times 2 + \left(5-1\right)\times 3\right) = 2{,}5 \times \left(4 + 12\right) = 2{,}5 \times 16 = 40$$ Последний член равен \(2 + 4\times 3 = 14\), а среднее арифметическое — \(40/5 = 8\).
Частые вопросы
Что делать, если \(d\) отрицательное? Для убывающей последовательности просто укажите отрицательную разность — формула учитывает это сама.
Может ли \(n\) быть дробным? Нет. \(n\) — это количество членов, поэтому оно должно быть целым положительным числом.
Чем последовательность отличается от ряда? Последовательность — это упорядоченный список членов, а ряд — это их сумма. Именно сумму и обозначает \(S_n\).
