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परिणाम

पहले n पदों का योग (Sₙ)

समांतर श्रेढी का कुल योग

अंतिम पद (aₙ)	10
पदों का औसत	5.5

यह कैलकुलेटर क्या करता है

समांतर श्रेणी (Arithmetic Sequence) संख्याओं की ऐसी सूची होती है जिसमें हर पद एक निश्चित मात्रा से बढ़ता (या घटता) है, जिसे सार्व अंतर (common difference) $d$ कहते हैं। यह कैलकुलेटर ऐसी श्रेणी के पहले $n$ पदों को जोड़ देता है — इसके लिए आपको पहला पद $a_1$, सार्व अंतर $d$ और कितने पदों को जोड़ना है ($n$) बताना होता है। यह कुल योग $S_n$, अंतिम पद $a_n$ का मान और सभी पदों का औसत बताता है।

इसका उपयोग कैसे करें

पहला पद $a_1$ दर्ज करें, फिर सार्व अंतर $d$ (लगातार आने वाले दो पदों के बीच का स्थिर अंतर — घटती हुई श्रेणी के लिए इसे ऋणात्मक रखें), और अंत में $n$ यानी जितने पदों को जोड़ना चाहते हैं उसकी संख्या भरें। "गणना करें" पर क्लिक करते ही कुल योग तुरंत सामने आ जाएगा।

सूत्र की व्याख्या

पहले $n$ पदों का योग होता है $$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)$$ यह सूत्र इसलिए काम करता है क्योंकि श्रेणी के पहले और अंतिम पद को जोड़ने पर हमेशा एक ही मान मिलता है, और ऐसी आधी-जोड़ियाँ कुल $n$ होती हैं। इसका एक समतुल्य रूप है $$S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)$$ जहाँ अंतिम पद $a_n = a_1 + (n-1)d$ होता है।

दो पंक्तियों में बार, एक बढ़ती हुई और एक उल्टी, समान ऊँचाई के जोड़े बनाते हुए — श्रेणी को उसके उल्टे क्रम से जोड़ने पर $n$ बराबर योग मिलते हैं, यही सूत्र का आधार है।

संख्या रेखा जो समांतर श्रेणी के पदों को सार्व अंतर d से अलग दिखाती है — प्रत्येक पद सार्व अंतर $d$ से बढ़ता है, पहले पद $a_1$ से शुरू होकर।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए $a_1 = 2$, $d = 3$ और $n = 5$, जिससे श्रेणी बनती है 2, 5, 8, 11, 14। तब $$S_n = \frac{5}{2}\left(2\times 2 + (5-1)\times 3\right) = 2.5 \times (4 + 12) = 2.5 \times 16 = 40$$ अंतिम पद है $2 + 4\times 3 = 14$, और औसत है $40/5 = 8$।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अगर d ऋणात्मक हो तो? घटती हुई श्रेणी के लिए सार्व अंतर को ऋणात्मक रखें — सूत्र इसे सीधे संभाल लेता है।

क्या n दशमलव या भिन्न हो सकता है? नहीं। $n$ पदों की गिनती है, इसलिए यह एक धनात्मक पूर्ण संख्या ही होनी चाहिए।

श्रेणी (sequence) और श्रेढी (series) में क्या अंतर है? श्रेणी पदों की क्रमबद्ध सूची होती है, जबकि श्रेढी उन्हीं पदों का योग होती है — और $S_n$ ठीक यही दर्शाता है।

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