यह कैलकुलेटर क्या है?
पहली n प्राकृत संख्याओं का योग कैलकुलेटर 1 से लेकर आपकी चुनी हुई संख्या n तक की हर पूर्ण संख्या को आपस में जोड़ देता है। 1 + 2 + 3 + ... को हाथ से जोड़ने के बजाय यह मशहूर सूत्र \(S = n(n+1)/2\) का इस्तेमाल करता है, जिससे n कितना भी बड़ा क्यों न हो, जवाब पलक झपकते मिल जाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
पदों की संख्या n दर्ज करें (उदाहरण के लिए, 1 से 100 तक जोड़ने के लिए 100), और फिर परिणाम देखें। कैलकुलेटर यह भी बताता है कि कितने पद जोड़े गए और उन पदों का औसत मान क्या है, जो \((n+1)/2\) के बराबर होता है।
सूत्र की व्याख्या
ऐसी समांतर श्रेणी जिसका पहला पद 1, अंतिम पद n और कुल पद n हों, उसका योग पदों की संख्या को पहले और अंतिम पद के औसत से गुणा करने पर मिलता है:
$$S = \frac{n \times (1 + n)}{2}$$इसे सरल करने पर \(\dfrac{n(n+1)}{2}\) बनता है। यह तरकीब — पहले और अंतिम पद को, फिर दूसरे और अंत से दूसरे पद को जोड़ी बनाकर जोड़ना — अक्सर युवा कार्ल फ्रीड्रिश गाउस के नाम से जुड़ी मानी जाती है।
हल किया गया उदाहरण
n = 100 के लिए:
$$S = \frac{100 \times (100 + 1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = \frac{10100}{2} = 5050$$पदों का औसत \(\dfrac{100 + 1}{2} = 50.5\) होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या इसमें 0 शामिल है? नहीं। यहाँ प्राकृत संख्याएँ 1 से शुरू होती हैं, इसलिए योग 1 से n तक ही होता है।
क्या n दशमलव हो सकता है? सूत्र किसी भी संख्या पर काम करता है, लेकिन प्राकृत संख्याओं की सही गिनती तो एक धनात्मक पूर्ण संख्या ही होनी चाहिए।
जोड़ने के बजाय सूत्र क्यों इस्तेमाल करें? यह सूत्र अरबों तक के n के लिए भी एक ही चरण में जवाब दे देता है, जबकि एक-एक करके जोड़ने में कहीं ज़्यादा समय लगेगा।
