ما هذه الحاسبة؟
تجمع حاسبة مجموع أول n عدد طبيعي كل الأعداد الصحيحة بدءًا من 1 وحتى القيمة التي تختارها، n. فبدلًا من كتابة 1 + 2 + 3 + ... يدويًا، تعتمد الحاسبة على القانون المغلق الشهير \(S = n(n+1)/2\) لتمنحك النتيجة في لحظة، مهما كانت قيمة n كبيرة.
طريقة الاستخدام
أدخل عدد الحدود n (مثلًا 100 لجمع الأعداد من 1 إلى 100)، ثم اطّلع على النتيجة. كما تعرض لك الحاسبة عدد الحدود التي جُمعت ومتوسط قيمتها، وهو يساوي \((n+1)/2\).
شرح القانون
مجموع متتالية حسابية حدّها الأول 1 وحدّها الأخير n وعدد حدودها n يساوي عدد الحدود مضروبًا في متوسط الحد الأول والحد الأخير:
$$S = n \times (1 + n) / 2$$وهو ما يُختصر إلى \(n(n+1)/2\). أما الحيلة الأنيقة — وهي جمع الحد الأول مع الأخير، والثاني مع ما قبل الأخير، وهكذا — فكثيرًا ما تُنسب إلى عالم الرياضيات الصغير كارل فريدريش غاوس.
مثال محلول
عند n = 100 يكون:
$$S = 100 \times (100 + 1) / 2 = 100 \times 101 / 2 = 10100 / 2 = 5050$$ومتوسط الحدود هو \((100 + 1) / 2 = 50.5\).
الأسئلة الشائعة
هل يشمل ذلك الصفر؟ لا. تبدأ الأعداد الطبيعية هنا من 1، لذا يغطي المجموع الأعداد من 1 إلى n.
هل يمكن أن تكون n عددًا عشريًا؟ يعمل القانون مع أي عدد، لكن العدّ الحقيقي للأعداد الطبيعية يجب أن يكون عددًا صحيحًا موجبًا.
لماذا نستخدم القانون بدلًا من الجمع المباشر؟ لأن القانون يعطي النتيجة في خطوة واحدة حتى لو بلغت n المليارات، بينما يستغرق الجمع حدًا بعد حد وقتًا أطول بكثير.
