前n个自然数求和计算器

结果

前n个自然数之和

5,050

S = n(n+1)/2

项数 (n)	100
各项平均值	50.5

这个计算器是做什么的？

「前n个自然数求和计算器」可以把从 1 一直到你指定数值 $n$ 的所有整数相加。你不用再手动敲 1 + 2 + 3 + …，它会直接套用著名的求和公式 $S = n(n+1)/2$，无论 $n$ 有多大，都能瞬间给出结果。

输入项数 $n$（例如填 100，就是把 1 到 100 全部相加），即可读取结果。计算器同时会显示一共加了多少项，以及这些数的平均值，平均值等于 $(n+1)/2$。

这是一个首项为 1、末项为 $n$、共 $n$ 项的等差数列。它的和等于「项数」乘以「首项与末项的平均值」：

$$S = n \times \frac{1 + n}{2}$$

化简后即为 $\frac{n(n+1)}{2}$。其中的小窍门——把首项与末项配成一对、第二项与倒数第二项配成一对，依此类推——通常被认为出自少年时期的数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）。

当 $n = 100$ 时：

$$S = \frac{100 \times (100 + 1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = \frac{10100}{2} = 5050$$

各项的平均值为 $\frac{100 + 1}{2} = 50.5$。

结果包含 0 吗？不包含。这里的自然数从 1 开始算起，因此求和范围是 1 到 $n$。

$n$ 可以是小数吗？公式本身对任何数值都成立，但严格意义上自然数的计数应当是正整数。

为什么要用公式而不是逐个相加？即使 $n$ 高达数十亿，公式也只需一步就能算出答案；而一个一个累加则会耗费长得多的时间。